Преобразование Фурье переводит свёртку в произведение, если выполнены следующие критерии:

Линейность: Преобразование Фурье является линейным оператором. Это означает, что для любых двух функций ( f(t) ) и ( g(t) ) и любых действительных чисел ( a ) и ( b ) выполняется следующее:
[
\mathcal{F}[a f(t) + b g(t)] = a \mathcal{F}[f(t)] + b \mathcal{F}[g(t)].
]

Ограниченность функций: Функции ( f(t) ) и ( g(t) ), которые подвергаются свёртке, должны быть интегрируемы на всей оси времени, то есть должны принадлежать пространству ( L^1 ) (например, должны быть абсолютно интегрируемы). В противном случае можно столкнуться с проблемами при вычислении преобразования Фурье.

Условия устойчивости: Для того чтобы результат свёртки был корректно преобразован, функции должны соответствовать условиям обращения преобразования Фурье, такие как отсутствие пиковой энергии и отсутствие зашумленности. Функции, которые имеют осциллирующее поведение или неограниченные значения, могут привести к неадекватным результатам.

Пример неправильного применения

Рассмотрим пример:

Предположим, у нас есть две функции ( f(t) ) и ( g(t) ), такие что:
[
f(t) = e^{-t^2}, \quad g(t) = \sin(t).
]

Очевидно, обе функции принадлежат пространству ( L^1 ), и мы можем вычислить свёртку ( h(t) = (f \ast g)(t) ). Применим преобразование Фурье:
[
\mathcal{F}[h(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \cdot \mathcal{F}[g(t)].
]

Однако если мы решим взять ( g(t) ) равной ( \delta(t) ) (действительной импульсной функции), которая имеет неограниченную величину, то:

Применение преобразования Фурье на свёртке:
[
\mathcal{F}f \ast \delta = \mathcal{F}[f(t)] \cdot \mathcal{F}[\delta(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \cdot 1.
]

При этом правильное использование преобразования показывает, что:
[
f \ast \delta = f.
]

В итоге, при попытке сделать это с неинтегрируемой функцией, например, с ( g(t) = 1 ) (которая не принадлежит ( L^1 )), мы получим неверные результаты в результате применения преобразования Фурье.

Такое неправильное применение приводит к потере свойств, необходимых для корректного использования теоремы о свёртке и преобразовании Фурье.