Классическим контрпримером к утверждению, что произведение сходящихся рядов обязательно сходится, служит произведение рядов ( \sum_{n=1}^{\infty} an ) и ( \sum{n=1}^{\infty} b_n ), где оба ряда расходятся, но их произведение сходится.

Рассмотрим два ряда:

( \sum_{n=1}^{\infty} an = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ) (гармонический ряд), который расходится.( \sum_{n=1}^{\infty} bn = \sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} ) (ряд Лейбница), который сходится.

Теперь рассмотрим их произведение:

[
\sum_{n=1}^{\infty} a_n bn = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}.
]

Этот ряд, ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} ), является сходящимся, потому что ряд ( \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ) является абсолютно сходящимся.

Тем не менее, здесь обязательно упомянуть, что произведение двух рядов, оба из которых сходятся, не обязательно является сходящимся рядом. Один простой пример — это случаи, где один ряд сходится, а другой наоборот расходится к бесконечности. Например, если:

( a_n = 1 - \frac{1}{n} ) (сходится к 1),( b_n = n ) (расходится к бесконечности).

Примером, подходящим под ваше определение, может служить:

Ряд ( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} ), который расходится.Ряд ( \sum_{n=1}^\infty (1 - \frac{1}{n}) ), который тоже расходится.

Таким образом, можно заметить, что произведение сходящихся рядов не может быть автоматически считаться сходящимся. Это зависит от конкретных рядов и их поведения при сложении или умножении.