Выполнимость квадратной формы над целыми числами — это важная тема в теории чисел и алгебраической геометрии. Квадратная форма имеет вид:

[ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \ldots + a_n x_n^2 + \ldots + a_n x_n^2 ]

где ( a_i ) — целые коэффициенты.

Тест на выполнимость

Чтобы определить, существует ли множество целых решений для квадратной формы, можно воспользоваться следующим тестом:

Снижение формы: Попробуйте привести квадратную форму к каноническому виду с помощью линейных преобразований.Критерий знакопеременности: Если форма имеет чётное число переменных, необходимо проверить знакопеременность квадратной формы.Гипотеза Легендра: Для нечетного количества переменных предполагается, что форма выполнима на целых числах, если и только если для всех делителей ( p ) (особенно для простых чисел) форма имеет решение в ( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ) (числа по модулю ( p )).Проверка на простых числах: Рассмотрите значение формы при целых числах от 0 до ( p-1 ) и проверьте, принимает ли она значения, которые могут представлять ( 0 ) по модулю ( p ).Группы состояний: Если форма принимает положительное значение при определенных значениях, это может указывать на невозможность получения решения.Параметры: Проверить значение формы при разных целых числах, включая 0 и 1 для поиска возможных решений.Связь с критериями знакопеременности

Критерии знакопеременности (например, критерий Хермина) помогают в исследовании свойств квадратных форм. Основные моменты:

Критерий Хермина: Если квадратная форма имеет ненулевое значение при определенных постоянных значениях переменных, то форма может быть не выполнима (≥ 0 и неотрицательны).Знакопеременность: Если форма определена как знакопеременная, то, как правило, можно утверждать о наличии или отсутствии целых решений.Равенство к единице: Если форма может принимать значение 1 при определенных параметрах, это также возможно подтверждает выполнимость формы (например, в случае показа решения при делении).Заключение

Тест на выполнимость квадратной формы основан на систематическом подходе к анализу значений формы, её свойств и связей с знакопеременными условиями. Важно помнить, что не всегда возможно установить выполнимость непосредственно, и в некоторых случаях необходимы теоретико-числовые инструменты и методы.