Чтобы установить, имеет ли трёхчлен с целыми коэффициентами рациональные корни, можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях. Эта теорема утверждает, что любой рациональный корень многочлена

[ P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 ]

с целыми коэффициентами ( an, a{n-1}, \ldots, a_0 ) может быть представлен в виде ( \frac{p}{q} ), где ( p ) — делитель свободного члена ( a_0 ), а ( q ) — делитель старшего коэффициента ( a_n ).

Алгоритм:

Определите коэффициенты: Найдите свободный член ( a_0 ) и старший коэффициент ( a_n ) вашего трёхчлена.

Найдите делители:

Определите все делители ( a_0 ) (включая положительные и отрицательные).Определите все делители ( a_n ) (включая положительные и отрицательные).

Составьте список возможных корней: Все возможные рациональные корни будут в виде ( \frac{p}{q} ), где ( p ) — делитель ( a_0 ), а ( q ) — делитель ( a_n ).

Проверьте возможные корни: Подставьте каждое из найденных значений ( \frac{p}{q} ) в трёхчлен и проверьте, равно ли выражение нулю.

Пример:

Рассмотрим трёхчлен ( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 ).

Свободный член ( a_0 = -6 ), старший коэффициент ( a_n = 2 ).Делители ( -6 ): ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 ).
Делители ( 2 ): ( \pm 1, \pm 2 ).Возможные рациональные корни: ( \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{2}{2}, \frac{-1}{1}, \frac{-1}{2}, \frac{-2}{1}, \frac{-2}{2}, \frac{3}{1}, \frac{3}{2}, \frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{-3}{1}, \frac{-3}{2}, \frac{-6}{1}, \frac{-6}{2} ).Проверяем, например, ( x = 1 ):
[
P(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 6 = 2 - 3 + 4 - 6 = -3 \quad (\text{не корень})
]
Проверяем ( x = 2 ):
[
P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 6 = 16 - 12 + 8 - 6 = 6 \quad (\text{не корень})
]
И так далее.

После проверки всех возможных корней, вы сможете установить, есть ли у трёхчлена рациональные корни.