Возьмем функцию ( f : [0, 1] \to \mathbb{R} ), определенную следующим образом:

[
f(x) = \begin{cases}
0, & \text{если } x \in [0, 1) \
1, & \text{если } x = 1
\end{cases}
]

Эта функция является непрерывной на интервале ([0, 1]), потому что при любом ( x \in [0, 1) ) функция принимает значение 0, а при ( x = 1 ) она принимает значение 1. Поскольку все предельные точки в ([0, 1)) дают значение 0, а в точке 1 — значение 1, функция непрерывна.

Теперь проверим, является ли эта функция абсолютно непрерывной. Мы вспомнили, что функция ( f ) является абсолютно непрерывной на отрезке ([a, b]), если для любого (\epsilon > 0) существует (\delta > 0) такое, что для любой семьи неперекрывающихся подотрезков ( (x_k, y_k) ) из ([a, b]) с суммой длин, меньшей (\delta):

[
\sum (y_k - x_k) < \epsilon.
]

Однако, если мы возьмем множество ({(0, \frac{1}{n})}) для (n \to \infty), то сумма длин отрезков (y_k - x_k) может быть произвольно малой, но сумма изменений функции в пределах этих отрезков приводит к нарушению абсолютной непрерывности.

Таким образом, ( f ) не является абсолютно непрерывной, поскольку абсолютно непрерывная функция должна иметь свойство, что её изменение (значение) можно контролировать по сумме длин отрезков.

Отличие понятийНепрерывность функции подразумевает, что малые изменения в аргументе функции приводят к малым изменениям в значении функции. То есть, если ( x_n \to x ), то ( f(x_n) \to f(x) ).Абсолютная непрерывность функции требует, чтобы данная функция можно было контролировать по изменениям значений, как уже упоминалось, на основе сумм маленьких отрезков. В частности, это требует, чтобы выполнение условий на малонаселяемом множестве (сумма длин отрезков) давало нам контроль над изменением функции.

Таким образом, все абсолютно непрерывные функции являются непрерывными, но не все непрерывные функции являются абсолютно непрерывными.