Доказательство того, что любая короткая ортонормированная система в конечномерном пространстве может быть дополнена до базиса, основывается на теореме о существовании базиса в конечномерных векторных пространствах, а также на свойствах ортонормированных систем.

Доказательство

Определение: Пусть (V) — конечномерное векторное пространство над полем (F), и пусть ({e_1, e_2, \ldots, e_k}) — короткая ортонормированная система векторов в (V), где (k < \dim V).

Линейная оболочка: Рассмотрим линейную оболочку векторов ({e_1, e_2, \ldots, e_k}), обозначим её как (W = \text{span}(e_1, e_2, \ldots, e_k)). Это подпространство имеет размерность (k).

Дополнение: Поскольку (V) — конечномерное пространство, его размерность (n = \dim V) больше размерности (W) (то есть (n > k)). По теореме о дополнении подпространств векторных пространств существует подпространство (U) такое, что (V = W \oplus U) и (\dim U = n - k).

Выбор векторов: Мы можем выбрать базис ({f_1, f2, \ldots, f{n-k}}) для подпространства (U). Теперь рассмотрим векторы ({e_1, e_2, \ldots, e_k, f_1, f2, \ldots, f{n-k}}).

Ортонормальность: Нужно показать, что мы можем выбрать векторы (f_i) таким образом, чтобы вся система ({e_1, e_2, \ldots, e_k, f_1, f2, \ldots, f{n-k}}) оставалась ortonормированной. Это можно сделать, применив процесс ортогонализации Грама — мы начнем с векторов (f_i) и будем их ортогонализировать относительно уже имеющихся (e_i), нормируя для получения ортонормальных векторов.

Составление базиса: В результате мы получим полную ортонормированную систему, которая является базисом пространства (V).

Пример

Рассмотрим пространство (\mathbb{R}^3) и короткую ортонормированную систему ({e_1, e_2}), где:

(e_1 = (1, 0, 0)),(e_2 = (0, 1, 0)).

Система состоит из двух ортонормированных векторов. Чтобы дополнить эту систему до базиса, нам нужно добавить еще один вектор.

Мы можем взять вектор (e_3 = (0, 0, 1)). Проверим, что (e_3) ортогонален к (e_1) и (e_2):

(e_1 \cdot e_3 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0),(e_2 \cdot e_3 = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0).

Убедимся, что (e_3) имеет единичную длину: (|e_3| = 1).

Таким образом, ({e_1, e_2, e_3}) — это ортонормированный базис пространства (\mathbb{R}^3).

Таким образом, мы продемонстрировали, что короткая ортонормированная система может быть дополнена до базиса в конечномерном пространстве.