Понятие измеримости функции и её интегрируемости особенно важно в математическом анализе и теории меры. Связь между ними можно объяснить следующим образом:

Измеримость функции: Функция ( f : X \to \mathbb{R} ) (где ( X ) — измеримое пространство) называется измеримой, если для любого ( \alpha \in \mathbb{R} ) множество ( { x \in X \mid f(x) > \alpha } ) является измеримым множеством. Это свойство позволяет нам применять теорию меры к функциям.

Интегрируемость функции: Функция ( f ) называется интегрируемой (по Лебегу) на измеримом множестве ( A \subseteq X ), если её интеграл ( \int_A |f| \, d\mu ) конечен, где ( \mu ) — мера на пространстве ( X ). Интегрируемость подразумевает, что функция не только измерима, но и что "объем" её значений не слишком велик.

Связь между измеримостью и интегрируемостьюИзмеримость не гарантирует интегрируемость: Все интегрируемые функции являются измеримыми, но обратное не всегда верно. То есть, функция может быть измеримой, но при этом не являться интегрируемой. Например, могут существовать измеримые функции, которые принимают бесконечные значения на множестве меры, которая не позволяет вычислить их интеграл.Примеры

Контрпример 1:

Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{1}{x} ) на промежутке ( (0, 1) ). Эта функция измерима, поскольку она непрерывна на ( (0, 1) ). Тем не менее, если мы попытаемся вычислить интеграл:

[
\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx,
]

то получим, что интеграл расходится (он равен ( +\infty )). Таким образом, функция ( f(x) ) является измеримой, но не интегрируемой на ( (0, 1) ).

Контрпример 2:

Рассмотрим индикатор функции на множестве с бесконечной мерой. Пусть ( A ) — множество натуральных чисел ( \mathbb{N} ), и определим индикаторную функцию:

[
f(x) = \begin{cases}
1, & \text{если } x \in A, \
0, & \text{если } x \notin A.
\end{cases}
]

Эта функция измерима (поскольку силы меры определяются через измеримые множества), но её интеграл по всему пространству вероятности с бесконечной мерой будет равен бесконечности:

[
\int \chi_A(x) \, d\mu = \mu(A) = \infty.
]

В данном случае ( f(x) ) измерима, но не интегрируема.

Заключение

Таким образом, можно делать вывод, что измеримость функции является необходимым, но не достаточным условием для её интегрируемости.