Чтобы доказать, что дифференцируемая функция с положительной производной строго возрастает, мы можем использовать теорему о среднем значении и свойства производной.

Определения:
Пусть ( f : (a, b) \to \mathbb{R} ) — дифференцируемая функция на интервале ( (a, b) ). Мы предположим, что для всех ( x \in (a, b) ) выполняется ( f'(x) > 0 ).

Теорема о среднем значении:
Согласно теореме о среднем значении, если ( f ) непрерывна на ( [x_1, x_2] ) и дифференцируема на ( (x_1, x_2) ), то существует такая точка ( c \in (x_1, x_2) ), что
[
f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.
]

Применение теоремы:
Пусть ( x_1, x_2 \in (a, b) ) такие, что ( x_1 < x_2 ). По условию, для любого ( c \in (x_1, x_2) ) имеем ( f'(c) > 0 ). Это означает, что
[
f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) > 0,
]
так как ( x_2 - x_1 > 0 ). Соответственно, мы получаем, что ( f(x_2) > f(x_1) ).

Вывод:
Таким образом, если ( f' > 0 ) на интервале ( (a, b) ), то для любых ( x_1, x_2 \in (a, b) ), где ( x_1 < x_2 ), выполняется ( f(x_2) > f(x_1) ). Это доказывает, что функция ( f ) строго возрастает на интервале ( (a, b) ).

Проблемы на концах интервала: Если функция не является дифференцируемой в некоторых точках на границах интервала ( [a, b] ), результат может не выполниться. Например, функция может быть не определена или иметь разрывы в этих точках.

Отсутствие дифференцируемости: Если функция не является дифференцируемой в определенных точках, например, в точках перегиба, то несмотря на то, что в небольших окрестностях производная может быть положительной, это не гарантирует, что функция будет строго возрастать по всему интервалу.

Случаи с горизонтальными касательными: Функция может иметь точки, в которых производная равна нулю, и в таких точках функция может временно не возрастать. Например, функция ( f(x) = x^3 ) имеет производную ( f'(x) = 3x^2 ), которая равна нулю в точке ( x=0 ); эта точка является локальным минимумом, а не строго возрастанием.

Таким образом, основное требование для строгого возрастания функции — это положительность производной на всем интервале, а отсутствие дифференцируемости или разрывы могут привести к исключениям.