Минимизация квадратичной формы при линейных ограничениях — это классическая задача в математической оптимизации. Рассмотрим общую форму квадратичной функции и линейных ограничений.

Пусть у нас есть квадратичная форма, которую нужно минимизировать:

[
f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x
]

где ( Q ) — симметричная положительно определённая матрица, ( c ) — вектор коэффициентов, а ( x ) — вектор переменных.

Предположим, что мы имеем следующие линейные ограничения:

[
Ax = b
]

где ( A ) — матрица коэффициентов ограничений, а ( b ) — вектор значений.

Метод множителей Лагранжа

Для решения задачи с помощью метода множителей Лагранжа создадим функцию Лагранжа:

[
\mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T (Ax - b)
]

где ( \lambda ) — вектор множителей Лагранжа.

Теперь мы найдем стационарные точки, взяв градиент функции Лагранжа по ( x ) и ( \lambda ) и приравняв его к нулю.

Находим градиент по ( x ):

[
\nabla_x \mathcal{L} = Qx + c + A^T \lambda = 0
]

Находим градиент по ( \lambda ):

[
\nabla_\lambda \mathcal{L} = Ax - b = 0
]

Теперь у нас есть система уравнений:

( Qx + c + A^T \lambda = 0 )( Ax - b = 0 )Решение системы уравнений

Эти два уравнения можно рассматривать как линейную систему. Для решения системы мы можем выразить переменную ( x ) через ( \lambda ) и подставить в первое уравнение, или наоборот.

Пример

Для конкретного примера рассмотрим:

[
f(x) = \frac{1}{2} x^T \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}^T x = x_1^2 + x_2^2
]

с ограничением:

[
x_1 + x_2 = 1
]

Тогда, подставляя в функцию Лагранжа, получим:

[
\mathcal{L}(x_1, x_2, \lambda) = x_1^2 + x_2^2 + \lambda (1 - x_1 - x_2)
]

Находим частные производные и приравниваем к нулю:

( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 2x_1 - \lambda = 0 )( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 2x_2 - \lambda = 0 )( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1 - x_1 - x_2 = 0 )

Из первых двух уравнений выразим (\lambda):

[
\lambda = 2x_1 = 2x_2
]

Из этого видно, что ( x_1 = x_2 ). Подставляем это в третье уравнение:

[
1 - 2x_1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}
]

Ответ

Таким образом, решение задачи минимизации квадратичной формы ( f(x) = x_1^2 + x_2^2 ) при ограничении ( x_1 + x_2 = 1 ) дает ( x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2} ), что соответствует минимальному значению функции, равному ( \frac{1}{2} ).