Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b) в прямоугольном треугольнике. То есть, ( c^2 = a^2 + b^2 ). Существует множество способов доказать эту теорему. Вот несколько из них, включая геометрические и алгебраические подходы.

Геометрические доказательства

Доказательство с помощью квадратов:
На каждом катете прямоугольного треугольника построим квадрат. Соединим вершины квадратов, основанных на катетах, и построим квадрат на гипотенузе. Путем сравнения площадей можно показать, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Доказательство с использованием площади:
Построим большой квадрат со стороной ( (a + b) ), внутри которого разместим наш прямоугольный треугольник, повторяя его трижды. В результате, внутри большого квадрата останется квадрат с длиной стороны ( c ). Площадь большого квадрата равна ( (a + b)^2 ), а площадь, занимаемая треугольниками (три треугольника по площади ( \frac{1}{2}ab ) каждый), равна ( 3 \cdot \frac{1}{2}ab ). Таким образом, можем установить равенство площадей и вывести нужное уравнение.

Доказательство с помощью параллелограммов:
Вместо треугольников возьмем два параллелограмма: один - с катетами, второй - с гипотенузой. Сравнив их площади, можно прийти к тому же результату.

Алгебраические доказательства

Алгебраическая формулировка:
Рассмотрим координатную плоскость. Пусть один катет находится на оси X, а другой – на оси Y. Тогда:

Для точки (a, 0) и (0, b) расстояние до точки (a, b) (гипотенуза) выражается как ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ). Возводя в квадрат обе стороны, получаем:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Это алгебраическое доказательство основывается на применении расстояния в координатах.

Доказательство с помощью тригонометрии:
Воспользуемся определениями синусов и косинусов. Пусть угол между одним из катетов и гипотенузой равен θ. Тогда:
[
a = c \cdot \cos(θ), \quad b = c \cdot \sin(θ)
]
Подставив эти выражения в формулу, получаем:
[
c^2 = a^2 + b^2 = (c \cdot \cos(θ))^2 + (c \cdot \sin(θ))^2 = c^2(\cos^2(θ) + \sin^2(θ)) = c^2
]
Это ещё одно алгебраическое доказательство, используя тригонометрические функции.

Сравнение

Геометрические доказательства:

Настраивают на визуальное восприятие и помогают увидеть связи между элементами.Подходят для отдельных случаев, но требуют большего представления о фигурах.Менее формализованные, могут быть более интуитивно понятными.

Алгебраические доказательства:

Более формализованные и точные, позволяют обрабатывать теорему в более общем виде.Применимы в различных контекстах, но могут быть менее интуитивными.Тенденция усложнять, требует знания алгебры и тригонометрии.

В общем, и геометрические, и алгебраические доказательства имеют свои преимущества и недостатки, и выбор подхода может зависеть от контекста, в котором применяется теорема.