Ряд Тейлора представляет собой бесконечную сумму членов, вычисленных из производных функции в одной точке. Если функция ( f(x) ) имеет ряд Тейлора в точке ( a ), то он записывается в виде:

[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
]

Условия аналитичности (сходимости ряда Тейлора)

Функция ( f(x) ) называется аналитической в точке ( a ), если ее ряд Тейлора в этой точке сходится к самой функции в некоторой окрестности ( a ). Критерии аналитичности следующие:

Сходящаяся ряда: Ряд Тейлора должен сходиться в некотором радиусе ( R > 0 ) вокруг точки ( a ).Совпадение с функцией: Если ряд Тейлора сходится, то должен выполняться критерий ( \lim{x \to a} f(x) = \lim{x \to a} T_n(x) ), где ( T_n(x) ) — частичная сумма ряда Тейлора.Мощность производных: Все производные ( f^{(n)}(a) ) должны существовать и быть конечными.Примеры функций с тождественным рядом, не совпадающим с функцией вне точки разложения

Функция ( f(x) = e^{-1/x^2} ) для ( x \neq 0 ) и ( f(0) = 0 ):

Ряд Тейлора в точке ( x = 0 ) будет равен нулю для всех ( n ), так как все производные в точке ( x = 0 ) равны нулю.Тем не менее, функция ( f(x) ) не равна нулю для ( x \neq 0 ).

Функция ( f(x) = \sin(1/x) ) (для ( x \neq 0 ) и ( f(0) = 0 )):

Ряд Тейлора в точке ( x = 0 ) будет равен нулевому ряду, так как ( f(0) = 0 ) и производные также равны нулю в этой точке.Однако ( \sin(1/x) ) колеблется на любом интервале, содержащем ноль, и не равна нулю для ( x \neq 0 ).

Обе функции являются примерами аналитических в нуле (их ряды Тейлора сходятся) и имеют нулевые ряды Тейлора, но не совпадают с собой вне точки разложения.