Чтобы вычислить производную функции, заданной параметрически, необходимо воспользоваться формулой для нахождения производной ( \frac{dy}{dx} ) в зависимости от параметра ( t ):

[
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
]

Где ( x(t) ) и ( y(t) ) — это функции, задающие параметры.

Вычисление производной:

Найдите ( \frac{dy}{dt} ).Найдите ( \frac{dx}{dt} ).Поделите ( \frac{dy}{dt} ) на ( \frac{dx}{dt} ).

Обсуждение особенностей и вертикальных касательных:

Обратите внимание на значения ( t ), при которых ( \frac{dx}{dt} = 0 ). В такие моменты производная ( \frac{dy}{dx} ) может стать неопределенной, что указывает на возможные вертикальные касательные или особенности графика (возможно, разрыв).Например, если ( x(t) ) и ( y(t) ) имеют некоторую точку, в которой ( x(t_0) ) и ( y(t_0) ) имеют конечное значение, но ( \frac{dx}{dt} = 0 ) в этой точке, то в этом месте может возникать вертикальная касательная или может быть особенная точка (например, разрыв или точка перегиба).

Примеры:

Рассмотрим параметрические уравнения ( x(t) = t^2 ) и ( y(t) = t^3 ):
Вычислим производную:
[
\frac{dy}{dt} = 3t^2, \quad \frac{dx}{dt} = 2t
]
[
\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t \quad (t \ne 0)
]Обратите внимание, что при ( t = 0 ) мы имеем ( \frac{dx}{dt} = 0 ), что указывает на вертикальную касательную в точке ( (0, 0) ).

Используя этот процесс, вы сможете вычислить производные других параметрически заданных функций и анализировать их особенности.