Норма и скалярное произведение — это два различных, но взаимосвязанных понятия в линейной алгебре и функциональном анализе.

Норма

Определение: Норма — это функция, которая сопоставляет вектору положительное число, интерпретируемое как «длина» этого вектора. Норма должна удовлетворять следующим свойствам:

Положительная определенность: ( |x| \geq 0 ) для любого вектора ( x ), и ( |x| = 0 ) только если ( x = 0 ).Однородность: ( |\alpha x| = |\alpha| |x| ) для любого скаляра ( \alpha ) и любого вектора ( x ).Неравенство треугольника: ( |x + y| \leq |x| + |y| ) для любых векторов ( x ) и ( y ).

Примеры норм в ( \mathbb{R}^n ):

Евклидова норма (L2-норма):
[
|x|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}
]
Геометрически это расстояние от начала координат до точки ( (x_1, x_2, \ldots, x_n) ) в пространстве ( \mathbb{R}^n ).

Манхэттенская норма (L1-норма):
[
|x|_1 = |x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|
]
Геометрически это сумма абсолютных значений координат вектора, представляющая «дистанцию» в условиях городских улиц (движение по прямым).

Максимальная норма (L∞-норма):
[
|x|_\infty = \max(|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|)
]
Геометрически максимальная норма определяет «дистанцию» по величине самой большой координаты вектора.

Скалярное произведение

Определение: Скалярное произведение — это операция, которая сопоставляет двум векторам одно число, характеризующее угол и длины данных векторов. Для векторов ( x, y \in \mathbb{R}^n ) это определяется как:
[
\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n
]
Скалярное произведение также должно удовлетворять нескольким свойствам:

Коммутативность: ( \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle ).Линейность по первому аргументу: ( \langle ax + b, y \rangle = a\langle x, y \rangle + b\langle y, y \rangle ) для любых скалярных ( a, b ).Положительное определенное: ( \langle x, x \rangle \geq 0 ), и ( \langle x, x \rangle = 0 ) только если ( x = 0 ).Взаимосвязь

С помощью скалярного произведения можно выразить норму:
[
|x|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle}
]
Это приводит к взаимосвязи между нормами и углами между векторами.

Вывод

Таким образом, норма служит для измерения «длины» вектора, тогда как скалярное произведение помогает измерить угол между векторами и их взаимосвязь. Обе концепции играют важную роль в геометрии и математическом анализе, обеспечивая обширные возможности для анализа и понимания структуры векторных пространств.