При дифференцировании произведения двух функций необходимо применять правило Лейбница, которое гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения выражается следующим образом:

[
(uv)' = u'v + uv'.
]

Рассмотрим случай, в котором студент неправильно применил данное правило. Предположим, что студент применил правило только частично, записав:

[
(uv)' = u'v.
]

В этом случае он забыл учесть второй компонент правила, то есть производную второй функции ( v(x) ).

Рассмотрим пример: пусть функции ( u(x) = x^2 ) и ( v(x) = \sin(x) ). Для их произведения имеем:

[
uv = x^2 \sin(x).
]

Правильная производная будет вычисляться следующим образом:

Находим производные ( u' ) и ( v' ):

( u' = 2x )( v' = \cos(x) )

Применяем правило Лейбница:
[
(uv)' = u'v + uv' = (2x) \sin(x) + (x^2) \cos(x).
]

Сравним с ошибочной версией студента, который записал:

[
(uv)' = u'v = (2x) \sin(x).
]

Эта запись совершенно не учитывает вклад производной второй функции, что может привести к значительным ошибкам в вычислениях, особенно если функции ( u ) и ( v ) имеют сложную структуру.

Анализ ошибок:Неполное применение правила: Студент не учел второй член формулы, что является основной ошибкой.Неосознание важности полного применения правила Лейбница: Зачастую студенты могут не замечать, что каждое слагаемое в правиле имеет значение, и упущение одного из них может привести к неверному результату.Опасность неполного подхода: В дальнейшем, если производные функций будут использованы в других расчетах, ошибка может накопиться и привести к еще более значительным искажениях.

Таким образом, важно тщательно следить за точностью применения правил дифференцирования и не забывать о всех их компонентах.