Утверждение "Любая строгая возрастающая функция на (\mathbb{R}) инъективна" является истинным. Давайте разберёмся, почему это так.

Определения:Строго возрастающая функция: Функция ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ) называется строго возрастающей, если для любых ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} ), таких что ( x_1 < x_2 ), выполняется ( f(x_1) < f(x_2) ).Инъективная функция: Функция ( f ) называется инъективной (или взаимно однозначной), если для любых ( x_1, x_2 \in \mathbb{R} ) выполняется: если ( f(x_1) = f(x_2) ), то ( x_1 = x_2 ).Доказательство:

Предположим, что ( f ) — строго возрастающая функция. Рассмотрим два произвольных числа ( x_1 ) и ( x_2 ) из (\mathbb{R}).

Случай 1: Пусть ( x_1 < x_2 ). По определению строго возрастающей функции имеем:
[
f(x_1) < f(x_2).
]
Это означает, что ( f(x_1) ) и ( f(x_2) ) не равны, так как если бы они были равны (( f(x_1) = f(x_2) )), это противоречило бы тому, что ( f ) строго возрастающая.

Случай 2: Пусть ( x_1 > x_2 ). Аналогично, по той же логике:
[
f(x_1) > f(x_2),
]
также показывая, что ( f(x_1) \neq f(x_2) ).

Таким образом, если ( f(x_1) = f(x_2) ), то должно быть ( x_1 = x_2 ), что показывает, что функция ( f ) инъективна.

Связь между монотонностью и инъективностью:

Основная связь между монотонностью и инъективностью заключается в том, что монотонные функции сохраняют порядок между элементами их области определения.

Строго возрастающие функции: Как мы показали, строго возрастающая функция инъективна, так как не может быть двух различных аргументов, чтобы они давали одинаковые значения.

Строго убывающие функции: Аналогично, строго убывающая функция также инъективна по той же причине, поскольку для любых двух различных аргументов также будут получены различные значения.

Непостоянные функции: Функции, которые не являются ни строго возрастающими, ни строго убывающими, могут быть не инъективными. Например, функция ( f(x) = x^2 ) не инъективна, так как ( f(-1) = f(1) = 1 ), и ( f ) не является ни строго возрастающей, ни строго убывающей на (\mathbb{R}).

В общем, строго возрастающие и строго убывающие функции всегда инъективны, тогда как для непостоянных функций, которые не сохраняют порядок, инъективность может не выполняться.