Давайте рассмотрим интеграл вида:

[
I = \int (x^2 + 1) e^{x^3 + x} \, dx
]

На первый взгляд может показаться, что имеет смысл сделать замену ( u = x^3 + x ). При вычислении производной получаем:

[
du = (3x^2 + 1) \, dx
]

Однако при подстановке у нас будет ( e^u ), а ( dx ) нужно будет выразить через ( du ):

[
dx = \frac{du}{3x^2 + 1}
]

Это может привести к сложным выражениям, поскольку мы не можем легко выразить ( x ) через ( u ).

Попробуем сделать другую замену. Обратим внимание на составные элементы интеграла. Заметим, что ( e^{x^3 + x} ) имеет более простой вид для подстановки, если мы прямо обратим внимание на его производные.

Другой подход — это сделать подстановку:

[
u = x^3 + x, \quad \text{и затем } \frac{du}{dx} = 3x^2 + 1.
]

Теперь заметим, что часть интеграла ( e^{u} ) и ( dx ) можем выразить через ( du ):

После замены, интеграл принимает вид:

[
I = \int e^{u} \frac{du}{3x^2 + 1}
]

Но поскольку мы не можем выразить ( x ) через ( u ) без дополнительных сложностей, попробуем подстановку ( x = \sqrt[3]{u - x} ) или даже более простую смену переменной, позволяющую сфокусироваться на членах, что упрощает интеграл.

Мы можем попытаться упростить исходный интеграл более традиционно, следует вычислить его производную и действовать аккуратно, чтобы избегать сложных производных. Применим подстановку:

[
x = t^{1/3} \Rightarrow dx = \frac{1}{3} t^{-2/3} dt.
]

После этого преобразования мы упрощаем интеграл, получая легкие в вычислении элементы для ( f(t) ) и тем самым легче интегрируем.

Этот подход ограничивается непосредственно простыми функциями и обернется вокруг факта, что исходная структура интеграла требует рассмотрения более простых функций, чтобы перейти к интегрируемому виду.

Таким образом, стараясь избегать запутанных подстановок, нам важно правильно выбирать, рассматривая производные и их структуру в интеграле.