Ошибка, которую студент допустил, заключается в том, что он применил формулу суммы конечной геометрической прогрессии к бесконечной геометрической прогрессии без предварительной проверки необходимых условий для использования данной формулы.

Формула для суммы конечной геометрической прогрессии выглядит так:

[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},
]

где (S_n) — сумма первых (n) членов прогрессии, (a) — первый член, (r) — знаменатель прогрессии, а (n) — количество членов.

Для бесконечной геометрической прогрессии, сумма может быть вычислена по формуле:

[
S = \frac{a}{1 - r},
]

но она применима только при условии, что (|r| < 1). Это требование является ключевым, так как сумма будет сходиться только при таком условии. Если (|r| \geq 1), то сумма бесконечной прогрессии не будет существовать (она будет расходящейся).

Таким образом, основная ошибка студента заключается в том, что он не проверил условие сходимости (|r| < 1) перед тем, как применить формулу для суммы бесконечного ряда. На практике это означает, что если он применил формулу к ряду, где (|r| \geq 1), то результаты были бы неверными и не отражали бы истинное поведение суммы ряда.