Чтобы провести разбор неверной оценки абсолютного значения разности при доказательстве пределов, давайте рассмотрим общую структуру доказательства предела функции и попытаемся определить типичные ошибки и способы их исправления.

Общая структура доказательства предела

Рассмотрим, например, предел функции ( f(x) ) при ( x ) стремящемся к ( a ):

[
\lim_{x \to a} f(x) = L
]

Для доказательства этого предела нужно показать, что для любого ( \epsilon > 0 ) существует ( \delta > 0 ), такое что если ( 0 < |x - a| < \delta ), то ( |f(x) - L| < \epsilon ).

Типичные ошибки в оценкахНеверная оценка: Оценка ( |f(x) - L| ) не учитывает все случаи, когда ( x ) близко к ( a ).

Для примера, допустим, мы рассматриваем функцию ( f(x) = x^2 ), и мы хотим доказать, что ( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 ). Мы могли бы неверно написать:

[
|f(x) - 4| = |x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)|.
]

Если мы ограничим ( |x - 2| < \delta ), это не даст нам прямой оценки на ( |x + 2| ), потому что оно может варьироваться в зависимости от ( \delta ).

Правильная оценка: Необходимо учитывать более сильные ограничения на ( |x + 2| ):

Для того чтобы контролировать ( |x + 2| ), мы можем заметить, что если ( |x - 2| < 1 ), то ( 1 < x < 3 ) и, следовательно, ( 3 < x + 2 < 5 ). Таким образом, мы можем сделать следующее:

[
|x + 2| < 5.
]

Теперь мы можем записать:

[
|f(x) - 4| = |(x-2)(x+2)| \leq 5|x - 2|.
]

Теперь, если мы хотим, чтобы ( |f(x) - 4| < \epsilon ), мы можем установить:

[
5|x - 2| < \epsilon \implies |x - 2| < \frac{\epsilon}{5}.
]

Таким образом, мы можем взять ( \delta = \min\left(1, \frac{\epsilon}{5}\right) ).

Формализация корректной оценки

При формализации оценки, нужно следовать следующему алгоритму:

Обозначить нужный предел и функцию.Найти способ разложения разности (например, через разность квадратов или другие алгебраические преобразования).Установить ограничения на выражения, которые появляются в оценках (например, ( |g(x)| ), где ( g(x) ) является частью анализа).Убедиться, что найдены адекватные соединения между ( |x - a| ) и другими входящими в оценку выражениями.Предложить нужное значение ( \delta ) в зависимости от ( \epsilon ).

Следуя этому подходу, можно избежать ошибок и дать корректное обоснование для предела.