Чтобы построить окружность, касающуюся двух данных прямых и проходящую через заданную точку, необходимо рассмотреть несколько возможных конфигураций.

Конфигурации:

Обе прямые пересекаются:

В этом случае окружность может быть построена так, чтобы касаться обеих прямых, находясь вне угла, образованного ими. Существует две таких окружности (с обеих сторон угла).

Прямые параллельны:

Если прямые параллельны, то окружность может находиться либо между прямыми, либо снаружи от них. В первом случае также есть две возможные окружности (в зависимости от положения заданной точки относительно прямых).

Одна прямая пересекает другую:

Если одна прямая пересекает другую (например, одна горизонтальная и одна вертикальная), окружность может быть расположена в секторе, который образован двумя прямыми. Существуют две возможные окружности, в зависимости от того, на какой стороне от угла находится заданная точка.Доказательство существования:

Для каждой конфигурации можно показать, что существует соответствующая окружность:

Обе прямые пересекаются:

Пусть прямые пересекаются в точке (A), а заданная точка - (P). Обозначим угол между прямыми как (\alpha). Можно вести радиус (r) от точки (P) так, чтобы он создавал нужный угол с каждой из прямых. С помощью геометрических конструкций можно утверждать, что радиусы будут касаться прямых.

Параллельные прямые:

Пусть прямые (l_1) и (l_2) с равным расстоянием между собой. Можно построить окружность радиуса (r), касающуюся обеих прямых. Если заданная точка (P) находится между прямыми, то окружность может быть построена таким образом, что она будет проходить через (P) и касаться (l_1) и (l_2).

Одна прямая пересекает другую:

Подобный подход, как и в первом случае, применим и здесь. Можно провести перпендикуляры от точки (P) к данным прямым и настроить окружность так, чтобы она была касательной к обеим прямым, соблюдая заданное расстояние.

В любом случае, конструкция окружности может быть выполнена с использованием классических геометрических методов, таких как построение перпендикуляров и определение центров окружности. Каждая из конфигураций имеет свои особенности касания, но принцип остается тем же: определение центра и радиуса окружности, удовлетворяющего условиям задачи.