Утверждение о том, что любая функция с нулевой производной всюду является константой, требует уточнения по поводу множества, на котором эта функция определена. В математическом анализе это связано с теоремой о производной и её свойствами.

Обсуждение:

Предположение о неполноте множества:
Чтобы утверждение о том, что фукнция с нулевой производной является константой, было верным, необходимо предположение о том, что рассматриваемое множество является включающим интервалом (например, открытым, замкнутым или полуоткрытым).

Если множество не является "достаточно большим" (например, это может быть разрозненное множество точек), то функция может иметь нулевую производную на этом множестве, но не быть константой по всему своему полю определения.

Предположение о связности:
Множество, на котором функция определена, должно быть связным. Это означает, что оно не должно содержать "разрывов". Например, на промежутке ([a, b]) любая функция, имеющая непрерывную производную (равную нулю), будет постоянной, так как все точки на промежутке соединены.

Непрерывность функции:
Также, как правило, требуется, чтобы функция была непрерывной. Если функция имеет разрывы, то даже если её производная где-то равна нулю, это не гарантирует, что она будет постоянной на всем множестве.

Заключение:

Таким образом, чтобы утверждение о том, что функция с нулевой производной является константой, было истинным, необходимы следующие условия:

Множество, на котором функция определена, должно быть связанным (например, интервалом).Функция должна быть непрерывной на этом множестве.

В противном случае это утверждение может оказаться ложным.