Несобственные интегралы возникают в случаях, когда область интегрирования либо бесконечна, либо подынтегральная функция имеет сингулярности (то есть точки, в которых она не определена или принимает бесконечное значение) на рассматриваемом интервале интегрирования.

Причины возникновения несобственных интегралов:

Бесконечный интервал интегрирования:

Если интеграл берется на неограниченном интервале, например, ( \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx ).

Сингулярности подынтегральной функции:

Если подынтегральная функция имеет разрывы или стремится к бесконечности на конечном интервале. Например, интеграл вида ( \int_{a}^{b} f(x) \, dx ), где ( f(x) ) имеет сингулярность в ( c ) (где ( a < c < b )).Методы вычисления несобственных интегралов:

Предельный процесс:

Для интегралов с бесконечными пределами:
[
\int{a}^{\infty} f(x) \, dx = \lim{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx,
]
если предел существует и конечен.

Для интегралов с сингулярностями:
[
\int{a}^{b} f(x) \, dx = \lim{c \to a} \int_{c}^{b} f(x) \, dx,
]
если предел существует и конечен.

Метод подстановки и замена переменной:

Иногда можно использовать подстановку или замену переменной, чтобы заменить сингулярную часть интеграла на более управляемую.

Интегрирование по частям:

В некоторых случаях интегрирование по частям может помочь в вычислении несобственного интеграла.Проверка сходимости несобственных интегралов:

Критерий сравнения:

Если существует функция ( g(x) ), такая что ( 0 \leq f(x) \leq g(x) ) на интервале интегрирования, и ( \int{a}^{b} g(x) \, dx ) сходится, то ( \int{a}^{b} f(x) \, dx ) также сходится (и наоборот).

Критерий интегрирования:

Если ( \int{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx ) сходится (при ( p > 1 )) или расходится (при ( p \leq 1 )), то это может помочь в оценке ( \int{a}^{\infty} f(x) \, dx ).

Асимптотический анализ:

Нужно проанализировать поведение функции ( f(x) ) вблизи сингулярностей или бесконечности, чтобы понять, какие факторы определяют сходимость.

Эти методы и критерии помогают в вычислении и анализе несобственных интегралов, позволяя выявлять их сходимость или расходимость.