Функции могут быть классифицированы как парные или непарные на основе их симметрии относительно оси Y и начала координат.

Критерии для парных и непарных функций:

Парные функции:

Функция ( f(x) ) является парной, если для всех ( x ) выполняется равенство:
[
f(-x) = f(x)
]Это означает, что график функции симметричен относительно оси Y.

Непарные функции:

Функция ( f(x) ) является непарной, если для всех ( x ) выполняется равенство:
[
f(-x) = -f(x)
]Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.Представление произвольной функции как суммы парной и непарной частей:

Для произвольной функции ( f(x) ) можно разложить её на парную и непарную части следующим образом:

Парная часть ( f_p(x) ):
[
f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}
]

Непарная часть ( f_n(x) ):
[
f_n(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}
]

Полное разложение:

Таким образом, можно выразить ( f(x) ) как сумму парной и непарной частей:
[
f(x) = f_p(x) + f_n(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}
]

Пример:

Рассмотрим функцию ( f(x) = x^3 + x ).

Вычисляем парную часть:
[
f_p(x) = \frac{(x^3 + x) + ((-x)^3 + (-x))}{2} = \frac{(x^3 + x) - (x^3 + x)}{2} = 0
]Вычисляем непарную часть:
[
f_n(x) = \frac{(x^3 + x) - ((-x)^3 + (-x))}{2} = \frac{(x^3 + x) - (-x^3 - x)}{2} = \frac{2x^3 + 2x}{2} = x^3 + x
]

То есть в данном случае:
[
f(x) = 0 + (x^3 + x)
]

Таким образом, функция ( f(x) = x^3 + x ) является непарной.