Для утверждения о существовании обратного элемента в кольце ( R ) нужно проверить несколько условий. Рассмотрим, например, утверждение о том, что каждый ненулевой элемент кольца ( R ) должен иметь обратный элемент, чтобы ( R ) было делимым кольцом (или полем). Вот несколько проверок корректности доказательства:

Проверка наличия единичного элемента: Убедитесь, что кольцо ( R ) содержит единичный элемент ( 1 ). Это необходимо для определения обратного (аддитивного) элемента в случае кольца с единицей.

Проверка свойств обращения под умножением: Необходимо удостовериться, что если элемент ( a \in R ) является ненулевым, то необходимо показать, что существует элемент ( b \in R ), такой что ( ab = 1 ).

Проверка закрытости под умножением: Убедитесь, что произведение любых двух элементов в кольце ( R ) также принадлежит кольцу.

Проверка ассоциативности умножения: Необходимо подтвердить, что операция умножения в кольце является ассоциативной.

Проверка дистрибутивности: Убедитесь, что операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.

Контрпримеры

Поле и кольцо без делителей нуля:

Если кольцо ( R ) не содержит единичного элемента, то не может существовать обратного элемента для каждого ненулевого элемента. Например, кольцо целых чисел ( \mathbb{Z} ) не содержит обратных элементов для элементов ( 2 ) или ( 3 ).

Кольцо с делителями нуля:

Рассмотрим кольцо ( R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ). В этом кольце элемент ( 2 ) является делителем нуля, так как ( 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 ), и у него нет обратного элемента, так как ( 2b \equiv 1 ) не имеет решений в этом кольце.

Кольцо с отсутствием делимости:

В кольце многочленов ( R[x] ) нельзя найти обратный элемент для любого многочлена, например ( x ), так как его произведение с другим многочленом не может привести к ( 1 ) в общем случае.

Эти проверки и контрпримеры иллюстрируют важные аспекты, которые необходимо учитывать при доказательстве существования обратных элементов в кольцах.