База векторного пространства — это набор векторов, которые линейно независимы и образуют пространство (то есть любые векторы из этого пространства могут быть представлены как их линейные комбинации). Ортогональная база — это специальный тип базиса, где все векторы взаимно ортогональны, то есть скалярное произведение любых двух различных векторов из этой базы равно нулю.

Отличие ортогональной базы от простого базиса:Линейная независимость: Оба типа базиса состоят из линейно независимых векторов.Скалярное произведение: В ортогональной базе для любых двух различных векторов выполняется условие ( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 ) (где ( \langle \cdot, \cdot \rangle ) — скалярное произведение), тогда как в общем базисе это условие не обязательно выполняется.Упрощение вычислений: Ортогональная база позволяет значительно упростить вычисления, например, при нахождении координат вектора в этой базе или при решении систем уравнений.Практические способы ортогонализации набора векторов:

Одним из наиболее известных методов ортогонализации является алгоритм Грамма-Шмидта. Вот краткое описание этого метода:

Начинаем с набора линейно независимых векторов ( { \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n } ).Первый вектор ( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 ).Для каждого следующего вектора ( \mathbf{v}_k ) (где ( k = 2, 3, \ldots, n )):
Определяем его ортогональную проекцию на уже построенные векторы:
[
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}k - \sum{j=1}^{k-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}k),
]
где (\text{proj}{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k)) — это проекция вектора ( \mathbf{v}_k ) на ( \mathbf{u}j ), которая вычисляется как:
[
\text{proj}{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k) = \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle} \mathbf{u}_j.
]Результатом будет набор ортогональных векторов ( { \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n } ).

Если нужно получить ортонормированную базу (где векторы также будут единичной длины), то каждый из полученных векторов ( \mathbf{u}_k ) можно нормировать:
[
\mathbf{e}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{|\mathbf{u}_k|}.
]

Таким образом, алгоритм Грамма-Шмидта позволяет перейти от любого линейно независимого набора векторов к ортогональной (или ортонормированной) базе.