Для анализа устойчивости методов Ньютона и простых итераций в решении нелинейных уравнений давайте рассмотрим их основные характеристики и сценарии, когда они могут расходиться.

Метод простых итераций

Метод простых итераций (или метод фиксированной точки) предполагает, что уравнение (f(x) = 0) можно привести к форме (x = g(x)), где (g(x)) - непрерывная функция. Итерация происходит по формуле:

[
x_{n+1} = g(x_n)
]

Устойчивость методаДля сходимости метода простых итераций необходимо, чтобы (g(x)) была сжимающей функцией в некоторой окрестности корня. Это означает, что производная (g'(x)) должна удовлетворять условию ( |g'(x)| < 1 ).Если ( |g'(x)| \geq 1 ), метод может расходиться или иметь медленную сходимость.Метод Ньютона

Метод Ньютона (или метод касательных) использует производную функции и применяется по формуле:

[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]

Устойчивость методаМетод Ньютона имеет квадратичную сходимость, что означает, что ошибка в итерации уменьшается пропорционально квадрату ошибки предыдущей итерации, если начальное приближение достаточно близко к истинному корню.Однако, для успешного сходимости метода важно, чтобы (f'(x_n) \neq 0), иначе будет деление на ноль и метод не сможет продолжить свое вычисление.Сценарии, когда метод расходитсяМетод Ньютона может расходиться, если:
Начальное приближение слишком далеко от корня.Производная (f'(x)) вблизи корня равна нулю, что вызывает большие колебания или неопределенности.Если функция (f(x)) имеет точки перегиба рядом с корнем.Сравнение устойчивостиУстойчивость простых итераций зависит от свойств (g(x)), и требует меньших условий (лишь сжимаемость), но может сходиться медленно.Метод Ньютона часто имеет более быструю квадратичную сходимость, но может быть менее устойчивым и требует более строгих условий для достижения сходимости.Заключение

Выбор метода зависит от конкретной задачи. Если исходное приближение близко к корню и известны производные, метод Ньютона может быть предпочтительным. Если же возможно наличие проблем с производной или сложно определить производную, метод простых итераций может оказаться более надежным, особенно для функций, которые легко преобразуются в форму фиксированной точки.