Связь между коммутативностью умножения матриц и их диагонализируемостью — это интересная тема в линейной алгебре. Давайте рассмотрим, что означают эти термины, и какие условия существуют между ними.

Коммутативность умножения матриц

Две матрицы ( A ) и ( B ) коммутируют, если выполняется равенство:
[
AB = BA.
]

Диагонализируемость матриц

Матрица ( A ) называется диагонализируемой, если существует инвертируемая матрица ( P ) и диагональная матрица ( D ), такие что:
[
A = PDP^{-1}.
]

Связь между коммутативностью и диагонализируемостью

Коммутирующие матрицы могут быть одновременно диагонализируемы: Если две матрицы ( A ) и ( B ) коммутируют и одна из них диагонализируема, то другая также диагонализируема при условии, что они имеют общий базис собственных векторов.

Это можно показать, если ( A = PDP^{-1} ), где ( D ) — диагональная матрица. Если ( B ) коммутирует с ( A ), можно показать, что собственные векторы ( A ) также будут собственными векторами ( B ) при наличия достаточного количества условий.

Обратное не всегда верно: Если две матрицы диагонализируемы, это не означает, что они будут коммутировать. Диагонализируемость гарантирует наличие базиса собственных векторов, но не обязывает матрицы принимать одну и ту же форму в одном и том же базисе.

Примеры

Контрпример, показывающий, что диагонализируемые матрицы не обязательно коммутируют:

Рассмотрим матрицы:
[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
0 & 2
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}.
]

Обе матрицы диагонализируемы, но они не коммутируют:
[
AB = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
0 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 \
0 & 2
\end{pmatrix},
]
[
BA = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 \
0 & 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 2 \
0 & 1
\end{pmatrix}.
]

Так как ( AB \neq BA ), матрицы не коммутируют, хотя обе диагонализируемы.

Для коммутирующих матриц, которые диагонализируемы:

Рассмотрим матрицы:
[
C = \begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 2
\end{pmatrix}, \quad
D = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 3
\end{pmatrix}.
]

Эти матрицы коммутируют, так как
[
CD = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 6
\end{pmatrix}, \quad
DC = \begin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 6
\end{pmatrix},
]
и обе диагонализируемы, так как это уже диагональные матрицы.

Условия взаимной совместимости

Если ( A ) и ( B ) — диагонализируемые матрицы и они коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализируемы, и у них существует общий базис собственных векторов.

Если одна из матриц — нелинейная (например, не диагонализируемая), это может повлиять на возможность совместной диагонализации.

Таким образом, диагонализируемость и коммутативность — это связанные, но не тождественные свойства матриц.