Коротко: утверждение автора некорректно. Обмен предела и бесконечной суммы возможен при дополнительных условиях (главные из них — равномерная сходимость или наличие суммируемой мажоранты), но в данном примере эти условия не выполняются, и обмен даёт неверный результат.
Разбор примера.
- $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$. Для любого фиксированного $n$ имеем ${\lim }_{x\to 0}{f}_n(x)=0$, поэтому формально ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\lim }_{x\to 0}{f}_n(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }0=0$.
- Но для любого фиксированного $x\ne 0$ при больших $n$ справедливо $n^2{x}^2\ge 1$ (т.е. при $n\ge 1/|x|$), и тогда
$$1+n^2{x}^2\le 2n^2{x}^2\Rightarrow \frac{n|x|}{1+n^2{x}^2}\ge \frac{n|x|}{2n^2{x}^2}=\frac{1}{2n|x|}.$$ Отсюда при $x\ne 0$ ∑n=1∞∣nx1+n2x2∣≥∑n≥⌈1/∣x∣⌉12n∣x∣=+∞, \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{n x}{1+n^2 x^2}\right|
\ge \sum_{n\ge \lceil 1/|x|\rceil} \frac{1}{2n|x|} = +\infty,
n=1∑∞ 1+n2x2nx ≥n≥⌈1/∣x∣⌉∑ 2n∣x∣1 =+∞, т.е. ряд расходится (в абсолютном и обычном смысле). Следовательно $S(x)$ не является конечной для любых $x\ne 0$, и ${\lim }_{x\to 0}S(x)$ не существует (не равен 0). Обмен предела и суммы здесь неверен.
Условия, при которых обмен допустим:
- Равномерная сходимость: если ряд функций ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ сходится равномерно на некоторой окрестности точки $a$, то сумма будет непрерывна в $a$ и
$$\underset{x\to a}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\underset{x\to a}{\lim }{f}_n(x).$$ - Критерий Вейерштрасса: если существуют числа $M_n\ge 0$ с $|f_n(x)|\le M_n$ для всех $x$ в окрестности $a$ и $\sum M_n<\infty$, то ряд сходится равномерно и обмен возможен.
- Для рядов неотрицательных функций: монотонная сходимость и теоремы интеграции/пределов (в контексте меры) дают аналоги — в частности, теорема о доминированной сходимости (если существует суммируемая функция-мажоранта).
Итог: в вашем примере условия не выполнены, поэтому обмен неверен; общая достаточная условие — равномерная/абсолютная сходимость на окрестности точки (Weierstrass M-test или аналогичные критерии).