Коротко: цель — доказать, что при фиксированном периметре $P$ максимальная площадь $A$ достигается кругом, и это выражается классическим неравенством
$$4\pi A\le P^2,$$ равенство при круге (радиус $r$: $A=\pi r^2,P=2\pi r$).
Далее — сравнение трёх подходов и важные технические условия.
1) Доказательства через «изопериметрическое неравенство» (аналитические/геометрические способы)
- Основные варианты: доказательства через неравенство Брунна–Минковского (конвексный/мерный подход), через неравенство Виртингера / Фурье-анализ для функций на окружности, через симметризацию Штейнера (метод перестановок).
- Преимущества: работают в большой общности (множества с конечной мерой, выпуклые множества, множества конечного периметра). Brunn–Minkowski даёт сильный многомерный результат; Steiner даёт конструктивное уменьшение периметра при сохранении площади.
- Технические требования: обычно достаточно измеримости множества и конечной площади/периметра; для Штейнера требуется соответствующая симметрия/свёртка и часто предполагают связность или простоту границы, но теоремы можно интерпретировать в рамках Caccioppoli‑множеств (sets of finite perimeter).
- Что даёт: глобальная степень общности; строгая характеристика равенства (только круг/шар) через равенства в используемых неравенствах.
2) Вариационные методы (классический метод Лагранжа)
- Идея: рассмотреть функционал $A$ при ограничении $L=P$. Для нормальной вариации границы с нормальным отклонением $u(s)$ имеем (формулы первого вариационного исчисления)
$$\delta A=\int u(s)ds,\delta L=-\int \kappa (s)u(s)ds,$$ где $\kappa (s)$ — кривизна. Составив функционал $J=A-\lambda L$ и потребовав $\delta J=0$ для всех $u$, получаем
$$1+\lambda \kappa (s)=0\Rightarrow \kappa =\text{const},$$ т. е. критические кривые — окружности. Вторые вариации дают, что круг даёт максимум (устойчивость).
- Преимущества: даёт явную локальную характеристику (постоянная кривизна) и возможность исследовать вторую вариацию (строгость максимума, стабильность, спектр операторов возмущения).
- Технические требования: для формальных выводов нужны достаточные гладкость границы (обычно $C^2$ или $C^{2,\alpha }$) чтобы иметь кривизну и уметь дифференцировать. Впрочем, в теории вариаций можно сначала работать в классе Caccioppoli‑множеств, затем получить регулярность оптимизатора: минимизатор/максимизатор при фиксированном периметре оказывается гладким (аналитическим) по теоремам регулярности.
- Что даёт: уникальность и локальная строгая оптимальность; жесткие условия на гладкость выводятся из оптимальности (регулярность решения).
3) Приближение полигонами (дискретный/комбинаторный путь)
- Идея: аппроксимировать любую допустимую простую кривую вписанными (или описанными) многоугольниками; для многоугольников с фиксированным периметром $P$ максимальная площадь достигается правильным $n$-угольником; при $n\to \infty$ правильный $n$-угольник стремится к кругу, получаем пределную оценку.
- Технические требования: граница должна быть прямолинейно аппроксимируема с сохранением периметра и площади в пределе — это требует ректификуемости (rectifiable curve) или конечного периметра множества, чтобы периметры полигонов сходились к периметру исходной кривой; также нужна сходимость площадей. Для произвольных «фрактальных» кривых с бесконечным периметром метод неприменим.
- Преимущества: довольно элементарен, конструктивен; хорошо иллюстрирует приближение и даёт интуитивную картину.
- Ограничение: требует контролируемой аппроксимации; переход к пределу требует нижней полуконтинуальности периметра и сходимости площадей.
4) Какие технические условия существенны (сводка)
- Класс «наименьшей общей сложности», где утверждение корректно и доказуемо: ограниченные измеримые множества в ${\mathbb{R}}^2$ с конечной площадью и конечным периметром (Caccioppoli‑множества, множества конечного периметра). В этом классе периметр определяется как вариация индикаторной функции и доступны компактизирующие теоремы (BV‑компактность), нижняя полуконтинуальность периметра, поэтому существует максимум и можно применять симметризацию/Brunn–Minkowski.
- Проще/сильнее требования для вариационных выкладок: изначально $C^2$-граница, чтобы писать вариационные производные; но можно показать, что оптимизатор обязан быть гладким, так что предположение о гладкости можно снять, если использовать теорию регулярности.
- Для аппроксимации полигонами: требуется ректификуемость границы (конечный периметр) и возможность аппроксимации периметра и площади полигонами.
- Дополнительно: обычно предполагают простоту (без самопересечений) — иначе «периметр» и «ограниченная площадь» нужно трактовать аккуратно; при формулировке в терминах множеств конечного периметра простота не требуется заранее, но оптимизатор оказывается простым и связным.
5) Краткое сравнение по критериям
- Общность: Brunn–Minkowski / теория множеств конечного периметра > Steiner symmetrization ≈ polygonal approximation (при finite perimeter) > вариационные выкладки без теории регулярности.
- Точность/уникальность: вариационный метод наиболее прямой в получении свойства «постоянная кривизна» и строгой уникальности; аналитические методы дают глобальную неравенство и критерий равенства.
- Простота/интуитивность: аппроксимация полигонами и симметризация интуитивно проще; Brunn–Minkowski технически короче, но требует мерной теории.
Вывод: минимально требуемая техническая рамка — множества с конечной площадью и конечным периметром (Caccioppoli/BV-класс). В этой рамке разные методы работают: симметризация и Brunn–Minkowski дают глобальную изопериметрическую оценку, вариация даёт локальную структуру (постоянная кривизна) и стабильность, аппроксимация полигонами — элементарную конструкцию. Во всех подходах равенство достигается только кругом (сдвиги и масштабирование).