Разбор решения, в котором студент неправильно применил правило замены при интегрировании по частям, может быть полезен для понимания процесса интегрирования и основных правил. Давайте рассмотрим, как отслеживать корректность каждого шага.

1. Основные правила интегрирования

Правило замены: Если ( u = g(x) ), то ( du = g'(x) \, dx ), и тогда интеграл можно выразить как:
[
\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
]

Интегрирование по частям: Используется для интегралов вида (\int u \, dv):
[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
]

2. Проверка корректности каждого шага

Убедитесь в верности формулировки задачи.

Прочитайте условие задачи и убедитесь в правильности формулировки интеграла, который нужно вычислить.

Оцените выбор замены.

При применении правила замены важно правильно определить ( u ) и ( du ). Убедитесь, что вы правильно вычислили производную ( du ) и что она есть в интеграле.

Проверка выполненных операций.

Проверьте каждую манипуляцию: все дифференциалы должны быть согласованы, и изменения переменной не должны создавать ошибки в пределах интегрирования. Проверьте правильность работы с пределами интегрирования, если они есть.

Каждый этап в интегрировании по частям.

Убедитесь, что при использовании формулы интегрирования по частям, вы правильно выбрали ( u ) и ( dv ).Пересчитайте производные и интегралы для ( du ) и ( v ).Убедитесь, что конечный результат соответствует условию задачи и уменьшает порядок интеграла после первого применения.

Проверка результатов.

Если вы и дальше используете результат, убедитесь, что он правильно подставлен в последующие шаги.Если в процессе вычисления возникает несуразица или сложное выражение, вернитесь и проверьте все предыдущие шаги.3. Пример ошибки

Рассмотрим, к примеру, интеграл:
[
I = \int x e^{x^2} \, dx
]

Студент решил применить замену ( u = x^2 ), и тогда ( du = 2x \, dx ) или ( dx = \frac{du}{2x} ).

Однако, если он неправильно подставил ( x ) в вашем окончательном результате, ошибки могут пройти незамеченными.

Правильная замена должна быть:
[
I = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C
]

Таким образом, каждый шаг должен быть проверен на наличие ошибок, и студент должен фиксировать каждую замену и вычисление, чтобы избежать путаницы.