Преобразование Фурье является мощным инструментом для решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по нескольким причинам:

Преобразование в частотной области: Преобразование Фурье переводит дифференциальное уравнение из временной области в частотную, где операции дифференцирования превращаются в операции умножения. Например, если (f(t)) — функция времени, то её преобразование Фурье (F(\omega)) связано с её производными следующим образом:
[
\mathcal{F}{f'(t)} = j\omega F(\omega)
]
[
\mathcal{F}{f''(t)} = -\omega^2 F(\omega)
]
Это упрощает решение уравнений, поскольку дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические.

Линейность: Преобразование Фурье сохраняет линейные свойства, что позволяет легко работать с суперпозициями функций.

Упрощение константных коэффициентов: В случае уравнений с постоянными коэффициентами преобразование Фурье позволяет легко найти общий вид решения, так как спектр характеристических уравнений оказывается наглядным.

Анализ устойчивости и характеристик системы: Преобразование Фурье помогает понять поведение систем в частотной области, что полезно для анализа устойчивости.

Рассмотрим простое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
[
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = f(t)
]
где (y(t)) — неизвестная функция, (f(t)) — заданное возмущение.

Применяем преобразование Фурье к уравнению:
[
\mathcal{F}{y''(t)} + 2\mathcal{F}{y'(t)} + \mathcal{F}{y(t)} = \mathcal{F}{f(t)}
]
Теперь подставим известные преобразования:
[
(-\omega^2 + 2j\omega + 1) Y(\omega) = F(\omega)
]
где (Y(\omega) = \mathcal{F}{y(t)}) и (F(\omega) = \mathcal{F}{f(t)}).

Далее выразим (Y(\omega)):
[
Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{-\omega^2 + 2j\omega + 1}
]

Теперь мы можем найти (Y(\omega)) и, если нужно, вычислить обратное преобразование Фурье для получения решения в временной области:
[
y(t) = \mathcal{F}^{-1}{Y(\omega)}
]

Таким образом, используя преобразование Фурье, мы смогли преобразовать задачу из временной области в частотную, упростить уравнение и получить решение.