Построение касательной к окружности, проходящей через заданную внешнюю точку, можно выполнить с помощью простых геометрических конструкций. Рассмотрим пошаговое описание:

Шаги построения:

Обозначим элементы:

Пусть ( O ) — центр окружности.Пусть ( R ) — радиус окружности, ( P ) — внешняя точка (не лежащая на окружности).

Соединяем точки:

Проведите отрезок ( OP ), соединяющий центр окружности ( O ) с внешней точкой ( P ).

Находим точку пересечения:

Найдите середину отрезка ( OP ). Обозначим эту середину как ( M ).

Проводим окружность:

Постройте окружность с центром в ( M ) и радиусом ( r = \frac{1}{2} OP ). Эта окружность будет пересекаться с данной окружностью в двух точках.

Поиск точек касания:

Обозначим точки пересечения этих окружностей как ( A ) и ( B ). Эти точки будут точками касания искомых касательных.

Проведем касательные:

Проведите отрезки ( PA ) и ( PB ). Эти отрезки будут касательными к окружности в точках ( A ) и ( B ) соответственно.Обоснование корректности:

Свойство касательной: Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Когда вы провели отрезки ( PA ) и ( PB ), они образуют углы в точках ( A ) и ( B ), которые равны 90 градусам с радиусами ( OA ) и ( OB ), что подтверждает их статус касательных.

Геометрическая конструкция: Середина отрезка ( OP ) как центр новой окружности обеспечивает равное расстояние от внешней точки ( P ) до точек ( A ) и ( B ), что гарантирует, что точки ( A ) и ( B ) будут находиться на одной касательной линии.

Единственность решения: К окружности можно провести только две касательные из внешней точки, и на каждом из этих направлений будет соответствующая единственная касательная.

Таким образом, мы достигаем требуемого результата: построили касательные к окружности из заданной внешней точки.