Пример неправильного применения теоремы о промежуточном значении может выглядеть следующим образом:

Студент рассматривает функцию ( f(x) = \frac{1}{x} ) на интервале ( [1, 2] ) и утверждает, что по теореме о промежуточном значении, если ( f(1) = 1 ) и ( f(2) = 0.5 ), то для любого значения ( y ) между 0.5 и 1 существует такое ( c ) в интервале ( (1, 2) ), что ( f(c) = y ).

Однако, студент не проверил, является ли функция ( f(x) ) непрерывной на этом интервале. Действительно, функция ( f(x) = \frac{1}{x} ) непрерывна для всех ( x > 0 ), и так как весь интервал ( [1, 2] ) принадлежит этой области, функция здесь непрерывна. Но если бы он рассматривал, например, функцию, которая не определена на каком-то отрезке интервала, было бы проблемой.

Чтобы правильно использовать теорему о промежуточном значении, необходимо:

Убедиться, что функция непрерывна на данном закрытом интервале. Для этого можно рассмотреть разбиение функции на более простые части или использовать теоретические результаты о непрерывности известных функций.

Если функция определена и непрерывна на интервале ( [a, b] ), то можно уже уверенно применять теорему и утверждать о существовании таких точек ( c ).

Если бы студент работал с другой функцией, например, ( g(x) = \sqrt{x - 1} ) на интервале ( [1, 2] ), он мог бы проверить, что функция непрерывна (во-первых, она определена на этом интервале, и во-вторых, не имеет разрывов). Тогда он мог бы утверждать, что для любого ( y ) между ( g(1) = 0 ) и ( g(2) = 1 ) существует ( c ) в ( (1, 2) ), такая что ( g(c) = y ).

Таким образом, главное — убедиться в непрерывности функции в рассматриваемом интервале перед применением теоремы о промежуточном значении.