Использование комплемента в задачах о вероятности позволяет упростить расчеты, особенно когда вычисление вероятности события напрямую оказывается сложным. Основная идея заключается в том, что вероятность события ( A ) и вероятность его комплемента ( A' ) (то есть события, не происходящего в результате ( A )) связаны между собой следующим образом:

[ P(A) + P(A') = 1 ]

Таким образом, если проще рассчитать вероятность ( A' ), мы можем легко найти ( P(A) ).

Примеры задач:

Подбрасывание монеты:
Задача: Найдите вероятность того, что при трёх подряд подбрасываниях монеты выпадает хотя бы одна решка.
Решение с помощью комплемента:

Сначала найдём вероятность события, что ни разу не выпадает решка (то есть, всегда будет орел).Вероятность того, что на каждом броске выпадет орел: ( P(A') = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} ).Теперь находим вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка: ( P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} ).

Кубик:
Задача: Найдите вероятность того, что при броске шестигранного кубика выпадет число больше 4.
Решение с помощью комплемента:

Событие «выпадет число больше 4» включает в себя 5 и 6.Комплементом будет событие «выпадет число 4 или меньше» (1, 2, 3, 4), что включает 4 благоприятных исхода из 6.Вероятность этого комплемента: ( P(A') = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ).Таким образом, вероятность события ( P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} ).

Тест на болезнь:
Задача: В 1% случаев тест на определённое заболевание даёт ложноположительный результат. Какова вероятность того, что человек, у которого тест показал положительный результат, на самом деле не болен, если вероятность наличия болезни у выборки составляет 1%?
Решение с помощью комплемента:

Здесь мы можем рассмотреть комплемент — вероятность того, что тест показывает отрицательный результат при условии, что человек не болен.Вероятность ложноположительного результата: 1% (это ( P(A') )).Учитывая низкую долю заболевания (1%), легче вычислить вероятности на основе 99% неопределённых исходов и затем использовать теорему Байеса для нахождения искомой вероятности.Техника выбора комплемента:Идентификация события: Сначала мы определяем событие ( A ), вероятность которого нам нужно найти.Определение комплемента: Найдите событие ( A' ), которое охватывает все исходы, которые не подходят для события ( A ).Вычисление вероятности комплемента: Найдите ( P(A') ) как процент от общего числа исходов.Применение формулы: Используйте связь между ( P(A) ) и ( P(A') ) для нахождения нужной вероятности: ( P(A) = 1 - P(A') ).

С помощью этих шагов можно значительно упростить процесс вычисления вероятностей в различных задачах.