Анализ изменения спектра оператора при малом возмущении матрицы является важной темой в линейной алгебре и функциональном анализе. Он имеет отношения к теории устойчивости собственных значений, которая достаточно обширно изучена в математической литературе.

Основные понятия

Спектр оператора: спектр оператора ( A ) включает все собственные значения ( \lambda ), которые удовлетворяют уравнению ( \det(A - \lambda I) = 0 ), где ( I ) — единичная матрица.

Возмущение: если матрица ( A ) подвергается малому возмущению, то можно рассмотреть новую матрицу ( A + E ), где ( E ) — малое возмущение.

Собственные значения: собственные значения матрицы ( A ) могут изменяться в результате возмущения. Основная задача состоит в том, чтобы понять, как именно они изменяются.

Теоремы о устойчивости собственных значений

Теорема Вейерштраса: эта теорема утверждает, что при малом возмущении матрицы спектр переходит в спектр возмущённой матрицы. Если собственное значение родственное (то есть, имеет кратность), то его изменение может быть значительным или даже привести к слиянию с другими собственными значениями.

Теорема о непрерывной зависимости собственных значений: собственные значения и собственные векторы зависят непрерывно от параметров матрицы. Если ( E ) малое по норме, то собственные значения ( \lambda{i}(A + E) ) будут близки к ( \lambda{i}(A) ). Формально, если ( |E| \rightarrow 0 ), то ( |\lambda{i}(A + E) - \lambda{i}(A)| \rightarrow 0 ).

Теорема Рейля: если вы рассматриваете самосопряженные или эрмитовы матрицы, то малые возмущения в матрице также приводят к малым изменениям в собственных значениях. Это может использоваться для анализа изменения порядка собственных значений при возмущениях.

Теоремы о кратности собственных значений: если управляемое возмущение ( E ) не меняет кратность собственных значений, можно использовать теоремы о производных целых форм. В этом случае появление новых собственных значений может указывать на конструктивные изменения в структурах матриц.

Пример

Рассмотрим матрицу ( A ):

[
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \
1 & 2
\end{pmatrix}
]

Для этой матрицы основные собственные значения можно вычислить. Если добавим к ней малое возмущение ( E ):

[
E = \begin{pmatrix}
\varepsilon & 0 \
0 & 0
\end{pmatrix}
]

где ( \varepsilon ) — малое число, то спектр устранится, и его изменения можно оценить с помощью анализа длины сторон и углов между векторами собственных решений. Собственные значения ( \lambda_1, \lambda_2 ) оператора ( A + E ) будут изменяться, как и описано выше, с заданной дисперсией в соответствии с величиной ( \varepsilon ).

Заключение

Изменение спектра оператора при малом возмущении является значимой проблемой, решение которой обеспечивается различными математическими теоремами. С помощью этих теорем можно понять, как меняются собственные значения и собственные векторы и какая степень устойчивости существует в вопросе возмущения.