Характеристический многочлен матрицы — это полином, который позволяет находить собственные значения этой матрицы. Для квадратной матрицы ( A ) размера ( n \times n ), характеристический многочлен определяется как определитель матрицы ( A - \lambda I ), где ( \lambda ) — это параметр, а ( I ) — единичная матрица того же размера.

Формулировка

Характеристический многочлен ( p(\lambda) ) записывается следующим образом:
[
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
]
Где:

( \det ) — определитель матрицы.( A ) — данная матрица.( \lambda ) — переменная (параметр).( I ) — единичная матрица.Использование

Вычисление характеристического многочлена:

Выражение ( A - \lambda I ) обрабатывается как новая матрица, где каждый элемент диагонали матрицы ( A ) уменьшен на ( \lambda ).Затем вычисляется определитель этой новой матрицы, что приводит к полиному переменной ( \lambda ).

Нахождение собственных значений:

Чтобы найти собственные значения матрицы ( A ), необходимо решить уравнение ( p(\lambda) = 0 ).Корни этого уравнения — это собственные значения матрицы ( A ).Интерпретация

Собственные значения: собственные значения матрицы определяют, как матрица действует на векторы. Это скаляры, такие что для некоторого вектора ( \mathbf{v} ) выполняется равенство:
[
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
]
Это означает, что вектор ( \mathbf{v} ) не меняет своего направления при умножении на матрицу ( A ), он лишь масштабируется на фактор ( \lambda ).

Свойства характеристического многочлена:

Степень характеристического многочлена равна размерности матрицы (то есть, ( n ) для матрицы ( n \times n )).Коэффициенты многочлена содержат информацию о свойствах матрицы, таких как след (сумма собственных значений) и определитель (произведение собственных значений).Пример

Для матрицы ( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} ):

Вычисляем ( A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} ).Находим определитель:
[
p(\lambda) = \det\left(\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix}\right) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
]Решаем уравнение ( \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 ) для нахождения собственных значений.

Таким образом, характеристический многочлен — это мощный инструмент для изучения свойств матриц и их действия в линейной алгебре.