Образовательная задача:

Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2} ) на интервале ( [0, 1] ). Студенту предлагается вычислить определенный интеграл

[
I = \int_0^1 f(x) \, dx
]

и рассмотреть предел

[
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx,
]

где ( f_n(x) = \frac{nx^2}{1 + n^2 x^2} ).

Студент должен вычислить интеграл ( I ) и предел ( \lim_{n \to \infty} In = \lim{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) \, dx ) с последующим сопоставлением результатов.Студент должен проанализировать, есть ли возможность обмена пределов и интеграла, и выяснить возможные ошибки в выводах.

Подсказки для самопроверки:

Проверка условий для обмена предела и интеграла:

Выполняет ли последовательность ( f_n(x) ) условия корректности для применения теоремы о предельном переходе под знаком интеграла (например, условия Лебега или сходимости по большинству)?

Сравнение функций:

Проанализируйте, как ведет себя функция ( f_n(x) ) при ( n \to \infty ), и найдите её предел.

Расчет интегралов:

Вычислите отдельно ( I ) и ( \lim_{n \to \infty} I_n ) и сравните их. Что вы можете сказать о разности этих значений?

Применение теоремы:

Обратите внимание на условия и предположения теоремы о предельном переходе. Совпадают ли они с вашим выбором функции? Как это влияет на ваш вывод?

Формулирование собственного мнения:

Скопируйте ваши выводы, находите ошибку, если она есть, и попробуйте сформулировать, как её можно исправить, основываясь на ваших наблюдениях.

Задача наталкивает на необходимость тщательного анализа условий для применения теорем о предельном переходе и помогает понимать важность корректного обоснования получаемых результатов в интегральном исчислении.