Чтобы найти длину дуги функции ( y = \ln(\cos(x)) ) на промежутке от ( x = 0 ) до ( x = \frac{\pi}{4} ), воспользуемся формулой для длины дуги:

[
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx,
]

где ( \frac{dy}{dx} ) — производная функции ( y ).

Находим производную ( \frac{dy}{dx} ):

[
y = \ln(\cos(x)),
]
поэтому

[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\tan(x).
]

Теперь подставим производную в формулу для длины дуги:

[
\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \tan^2(x).
]

Следовательно,

[
1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x).
]

Теперь можем вычислить длину дуги:

[
L = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\sec^2(x)} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec(x) \, dx.
]

Интегрируем ( \sec(x) ):

[
\int \sec(x) \, dx = \ln | \sec(x) + \tan(x) | + C.
]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[
L = \left[ \ln | \sec(x) + \tan(x) | \right]_0^{\frac{\pi}{4}}.
]

Вычисляем:

При ( x = \frac{\pi}{4} ):
[
\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}, \quad \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1,
]
поэтому
[
\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + 1.
]

При ( x = 0 ):
[
\sec(0) = 1, \quad \tan(0) = 0,
]
поэтому
[
\sec(0) + \tan(0) = 1.
]

Теперь подставляем в длину дуги:

[
L = \ln(\sqrt{2} + 1) - \ln(1) = \ln(\sqrt{2} + 1).
]

Таким образом, длина дуги функции ( y = \ln(\cos(x)) ) на промежутке от ( 0 ) до ( \frac{\pi}{4} ) равна:

[
L = \ln(\sqrt{2} + 1).
]