Функции с разрывами типа "скачок" — это функции, у которых предел в определенной точке не совпадает со значением функции в этой точке, или же этот предел не существует вообще. Зачастую такие функции имеют два различных предела при подходе к точке разрыва с разных сторон.

Рассмотрим пример функции:

[
f(x) =
\begin{cases}
1, & x < 0 \
2, & x \geq 0
\end{cases}
]

Эта функция определена разными значениями в зависимости от того, меньше или больше (или равно) значение ( x ) нулю.

Теперь разберемся с пределами функции ( f(x) ) при подходе к точке разрыва ( x = 0 ):

Предел при подходе к 0 слева:
[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1
]

Предел при подходе к 0 справа:
[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2
]

Так как левый предел не равен правому пределу, мы можем сказать, что общий предел функции в точке ( x = 0 ) не существует. Таким образом, значение функции ( f(0) = 2 ) не совпадает с пределом, который мы можем определить при подходе к этой точке:

[
\lim_{x \to 0} f(x) \text{ не существует.}
]

Условия для существования предела в точке разрыва

Для существования предела функции ( f(x) ) в точке разрыва ( c ) необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Существуют односторонние пределы:

Левый предел:
[
\lim_{x \to c^-} f(x) \text{ существует.}
]Правый предел:
[
\lim_{x \to c^+} f(x) \text{ существует.}
]

Односторонние пределы должны совпадать:
[
\lim{x \to c^-} f(x) = \lim{x \to c^+} f(x).
]

Если оба этих условия выполняются, то существует и общий предел ( \lim_{x \to c} f(x) ), вне зависимости от значения функции в точке ( c ). В случае разрыва типа "скачок" эти условия, как правило, не выполняются, что и приводит к разрыву функции.