Для решения задачи о том, какова вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно два орла, можно использовать биномиальное распределение.

Шаги решения:

Определение параметров биномиального распределения:

( n = 3 ) (количество бросков, т.е. количество монет).( k = 2 ) (количество успешных исходов, т.е. количество орлов, которые мы хотим получить).( p = 0.5 ) (вероятность успеха в одном броске, т.е. вероятность выпадения орла на одной монете).

Формула для биномиального распределения:
Вероятность получить ровно ( k ) успешных исходов в ( n ) независимых испытаниях можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который показывает количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний.

Вычисление биномиального коэффициента: [
\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3
]

Подстановка значений в формулу: [
P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.5)^2 (1 - 0.5)^{3 - 2}
]
[
P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375
]

Ответ:

Вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно два орла, составляет ( 0.375 ) или ( 37.5\% ).

Объяснение метода биномиального распределения:

Метод обращения к биномиальному распределению является удобным, потому что:

Упрощение вычислений: Позволяет упростить вычисление вероятностей для непостоянного числа испытаний с двумя возможными исходами (успех и неуспех).

Стандартизированные формулы: Имея готовую формулу, мы можем быстро провести расчеты для различных комбинаций ( n ) и ( k ) без необходимости перечисления всех возможностей.

Анализ большого числа испытаний: Метод позволяет также анализировать ситуации с большим числом испытаний, когда перечисление всех исходов становится неосуществимым.

Применяемость: Применим ко многим реальным ситуациям, таким как розыгрыши, клинические испытания (успех/неуспех) и другие вероятностные события, которые следуют биномиальному распределению.