Рассмотрим пример уравнения с модулем:

[
|x - 3| = 5
]

Если мы неправильно уберем модуль без проверки условий, мы можем сделать это следующим образом:

[
x - 3 = 5 \quad \text{или} \quad x - 3 = -5
]

Отсюда мы получаем два уравнения:

(x - 3 = 5)
(x = 8)

(x - 3 = -5)
(x = -2)

Теперь давайте проверим оба решения:

Подставляем (x = 8) в изначальное уравнение:
(|8 - 3| = |5| = 5) (верно)

Подставляем (x = -2) в изначальное уравнение:
(|-2 - 3| = |-5| = 5) (верно)

В этом случае оба решения верны. Тем не менее, давайте рассмотрим другой пример, где ошибка может возникнуть из-за неправильной интерпретации абсолютного значения.

Рассмотрим уравнение:

[
|x + 1| = -3
]

При попытке убрать модуль, мы могли бы ошибочно написать следующее:

[
x + 1 = -3 \quad \text{или} \quad x + 1 = 3
]

Однако это неправильный подход, поскольку модуль не может равняться отрицательному числу. Правильный путь разбора такого уравнения следующий:

Заметим, что модуль всегда неотрицателен, т.е. (|x + 1| \geq 0) для всех (x).Поскольку у нас есть уравнение (|x + 1| = -3), это уравнение не имеет решений, так как правая часть меньше нуля.

Таким образом, правильный подход при решении уравнений с модулем подразумевает:

Определение условий, при которых выражение в модуле может принимать различные значения (положительное, отрицательное).Проверка на возможность решения, особенно когда каждая из частей уравнения уменьшает область допустимых значений (например, проверка на отрицательные значения).Запись всех случаев, исходя из определения абсолютного значения:

[
|A| = B \quad \text{тогда} \quad A = B \quad \text{или} \quad A = -B
]

где (B \geq 0). Если (B < 0), то уравнение не имеет решений.

Таким образом, важно не только провести алгебраические преобразования, но и проанализировать условие на наличие решений изначально.