Давайте проанализируем это утверждение. Мы рассматриваем две последовательности ( a_n ) и ( b_n ), и предположим, что предел произведения последовательностей равен нулю, т.е.

[
\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 0.
]

Утверждение гласит, что при этом одна из последовательностей ( a_n ) или ( b_n ) обязательно должна стремиться к нулю, то есть

[
\lim_{n \to \infty} an = 0 \quad \text{или} \quad \lim{n \to \infty} b_n = 0.
]

Однако данное утверждение неверно. В качестве контрпримера рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть ( an = 1 ) для всех ( n ) (в этом случае (\lim{n \to \infty} a_n = 1)).Пусть ( bn = \frac{1}{n} ) для всех ( n ) (в этом случае (\lim{n \to \infty} b_n = 0)).

В этом случае:

[
\lim_{n \to \infty} (a_n bn) = \lim{n \to \infty} \left( 1 \cdot \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.
]

Здесь произведение стремится к нулю, хотя первая последовательность не стремится к нулю.

Таким образом, правильное утверждение может звучать так:

Если предел произведения двух последовательностей равен нулю, то по крайней мере одна из последовательностей может не стремиться к нулю, но это не значит, что обе не могут стремиться к нулю. Однако, если обе последовательности имеют ненулевые пределы (или стремятся к ненулевым значениям), то их произведение не может стремиться к нулю.

Отсюда следует уточнение: Если известен предел произведения двух последовательностей, равный нулю, это может означать, что хотя бы одна из последовательностей имеет предел, равный нулю, но это не обязательно.