Ряды с положительными членами — это последовательности вида ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n ), где ( a_n > 0 ) для всех ( n ). Для исследования их сходимости можно применить критерии Даламбера (или критерий отношение) и Коши (или критерий корня).

Критерий Даламбера

Ряд ( \sum a_n ) сходится, если существует предел:

[
L = \lim{n \to \infty} \frac{a{n+1}}{a_n}
]

и:

( L < 1 ) — ряд сходится.( L > 1 ) или ( L = \infty ) — ряд расходится.( L = 1 ) — критерий не дает ответа.Критерий Коши

Ряд ( \sum a_n ) сходится, если существует предел:

[
L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}
]

и:

( L < 1 ) — ряд сходится.( L > 1 ) — ряд расходится.( L = 1 ) — критерий не дает ответа.Условия схождения и примеры

Рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать удобство применения каждого из критериев.

Пример: Ряд Патриции

Рассмотрим ряд:

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
]

Применение критерия Даламбера:

Проверим, используя критерий Даламбера:

[
an = \frac{1}{n!}
]
[
a{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}
]

Тогда вычислим отношение:

[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{1}{n+1}
]

Теперь находим предел:

[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1
]

Следовательно, ряд сходится.

Применение критерия Коши:

Теперь применим критерий Коши:

[
L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}
]

Согласно свойствам факториала, можно оценить:

[
L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0 < 1
]

Таким образом, ряд также сходится по критерию Коши.

Заключение

В данном случае, оба критерия подтвердили сходимость ряда, но применение критерия Даламбера оказалось более простым, так как достаточно было вычислить одно отношение, тогда как критерий Коши требует более сложных преобразований и также требует знания об оценках факториала.

В более сложных ситуациях, например, при работе с рядами, содержащими экспоненциальные и тригонометрические функции, может оказаться удобнее использовать один критерий по сравнению с другим, в зависимости от структуры рядов и свойств элементов.