Чтобы доказать, что между любыми двумя рациональными числами всегда существует хотя бы одно иррациональное число, мы можем воспользоваться следующей стратегией:

Выберем два рациональных числа: Пусть ( a ) и ( b ) — два рациональных числа, причем ( a < b ).

Воспользуемся свойствами иррациональных чисел: Известно, что корень из 2 является иррациональным числом. Мы можем использовать его для построения иррационального числа между ( a ) и ( b ).

Построение иррационального числа: Рассмотрим выражение ( c = a + \frac{(b - a)}{2} + k\sqrt{2} ), где ( k ) — небольшое положительное рациональное число, а ( \sqrt{2} ) — наше известное иррациональное число.

Убедимся, что ( c ) находится между ( a ) и ( b ): Для этого нам нужно подобрать ( k ) так, чтобы ( c ) находилось между ( a ) и ( b ).

Так как ( (b - a) ) — положительное число, выражение ( a + \frac{(b - a)}{2} ) тоже будет находиться между ( a ) и ( b ). Таким образом, добавляя небольшое значение ( k\sqrt{2} ), мы сможем перемещать ( c ) вверх или вниз в зависимости от знака ( k ).

Пример с конкретными рациональными числами: Пусть ( a = 1 ) и ( b = 2 ). Мы можем взять ( k = \frac{1}{10} ) (или другое положительное рациональное число). Тогда запишем:
[
c = 1 + \frac{(2 - 1)}{2} + \frac{1}{10}\sqrt{2} = 1 + 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt{2}.
]
Число ( c ) будет иррациональным, поскольку в него входит иррациональная часть ( \frac{1}{10}\sqrt{2} ).

Проверка, что ( c ) находится между 1 и 2: Мы видим, что ( c ) превосходит 1 и приближается к 2, поскольку ( \frac{1}{10}\sqrt{2} ) — это довольно маленькое положительное значение (приблизительно 0.1414), добавляемое к 1. Таким образом, ( c \approx 1.6414 ), что находиться между 1 и 2.

Таким образом, мы предоставили стратегию и конкретный пример, который показывает, что между любыми двумя рациональными числами есть иррациональное число.