Чтобы упростить выражение ( \sqrt{a + \sqrt{b}} ) и представить его в виде суммы квадратных корней, нужно рассмотреть, когда это возможно.

Вариант 1: Анализ выражения

Рассмотрим, можно ли представить выражение в виде

[
\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}
]

где ( x ) и ( y ) — неотрицательные числа. Преобразуем это уравнение:

[
\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}
]

Возведем обе части в квадрат:

[
a + \sqrt{b} = x + y + 2\sqrt{xy}
]

Теперь мы можем сопоставить подобные члены:

( x + y = a )( 2\sqrt{xy} = \sqrt{b} )

Из второго уравнения можно выразить ( \sqrt{xy} ):

[
\sqrt{xy} = \frac{\sqrt{b}}{2}
]

После этого можем возвести обе стороны во вторую степень:

[
xy = \left( \frac{\sqrt{b}}{2} \right)^2 = \frac{b}{4}
]

Теперь у нас есть система уравнений:

( x + y = a )( xy = \frac{b}{4} )Вариант 2: Решение системы

Эти два уравнения можно рассматривать как систему уравнений для поиска корней ( x ) и ( y ). Подставим ( y = a - x ) во второе уравнение:

[
x(a - x) = \frac{b}{4}
]

Это приведёт к квадратному уравнению:

[
-x^2 + ax - \frac{b}{4} = 0
]

Решив это уравнение по ( x ), получим:

[
x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2}
]

Условия существования квадратного корня

Чтобы в результате у нас были неотрицательные решения, необходимо, чтобы:

( a^2 - b \geq 0 ), что означает ( a \geq \sqrt{b} )Корни ( x ) и ( y ) также должны быть неотрицательными, что необходимо проверять отдельно для найденных значений.

Таким образом, условие ( a \geq \sqrt{b} ) является необходимым для того, чтобы ( \sqrt{a + \sqrt{b}} ) можно было представить в виде суммы квадратных корней. Если эти условия выполнены, мы можем упростить исходное выражение соответствующим образом.