Определение линейной зависимости набора функций на отрезке можно осуществить как с помощью матричного, так и аналитического подхода. Давайте рассмотрим оба.

1. Матричный подходМетод

Построение матрицы:
Рассмотрим набор функций ( f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x) ) определенных на отрезке ( [a, b] ). Для проверки их линейной зависимости, будем исследовать их значения в конечном числе точек ( x_1, x_2, \ldots, x_m ) на данном отрезке. Мы формируем матрицу ( A ) с элементами:
[
A = \begin{pmatrix}
f_1(x_1) & f_2(x_1) & \cdots & f_n(x_1) \
f_1(x_2) & f_2(x_2) & \cdots & f_n(x_2) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
f_1(x_m) & f_2(x_m) & \cdots & f_n(x_m)
\end{pmatrix}
]

Решение системы:
Мы предполагаем, что существует набор коэффициентов ( c_1, c_2, \ldots, c_n ), не все из которых равны нулю, такой что:
[
c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \ldots + c_n f_n(x) = 0 \quad \forall x \in [a, b]
]
Это уравнение можно записать в матричной форме как:
[
A \mathbf{c} = 0
]
где ( \mathbf{c} = \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ \vdots \ c_n \end{pmatrix} ).

Проверка линейной зависимости:
Для выяснения, существует ли ненулевое решение данной системы, необходимо найти ранг матрицы ( A ). Если ранг матрицы меньше числа строк или столбцов, то функции линейно зависимы.

Пример

Рассмотрим функции ( f_1(x) = x ), ( f_2(x) = x^2 ) и ( f_3(x) = 2x^2 - x ) на отрезке ([-1, 1]). Построим матрицу значений в точках ( x = -1, 0, 1 ):
[
A = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & 3 \
0 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
]
В данном случае, ранг ( A ) равен 2 (две линейно независимые строки), тогда функции ( f_1, f_2, f_3 ) линейно зависимы.

2. Аналитический подходМетод

Проверка линейной комбинации:
Записываем линейное сочетание функций:
[
c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \ldots + c_n f_n(x) = 0
]
для всех ( x \in [a, b] ).

Сравнение коэффициентов:
Если функции являются многочленами, мы можем разложить их в ряд Тейлора или провести сравнение по степеням, получая уравнения для коэффициентов ( c_i ). Решив систему уравнений ( c_1, c_2, \ldots, c_n ), мы можем выяснить, равны ли они нулю.

Применение теоремы:
Если среди функций присутствуют полиномы, применяем теорему о линейной независимости полиномов. Например, если набор содержит полиномы разного степени, то они линейно независимы.

Пример

Допустим, берем функции ( f_1(x) = x ) и ( f_2(x) = x^2 ). Сравниваем выражение:
[
c_1 x + c_2 x^2 = 0
]
для всех ( x ). Это возможно лишь если ( c_1 = 0 ) и ( c_2 = 0 ). Таким образом, функции ( f_1 ) и ( f_2 ) линейно независимы.

Заключение

Оба подхода, матричный и аналитический, позволяют проверить линейную зависимость набора функций на заданном отрезке. Матричный метод удобен для работы с большим количеством функций, а аналитический больше подходит для теоретического анализа и работы с конкретными выражениями.