Чтобы доказать, что рациональное число в непрерывной дроби имеет конечное разложение, а иррациональное — бесконечное, можно использовать следующие рассуждения:

1. Конечное разложение для рациональных чисел:

Рациональное число можно выразить в виде дроби ( \frac{p}{q} ), где ( p ) и ( q ) — целые числа, а ( q \neq 0 ). Мы можем использовать алгоритм Евклида для нахождения непрерывной дроби.

Процесс получения непрерывной дроби из рационального числа включает в себя следующее:

Делим ( p ) на ( q ) и находим целую часть ( a_0 ) (это первый коэффициент).Вычисляем остаток ( r_0 = p - a_0 q ) и берем дробь ( \frac{q}{r_0} ).Повторяем процесс для новой дроби.

Так как на каждом шаге мы заменяем числитель и знаменатель, которые уменьшаются по величине (это гарантируется свойством целочисленного деления), мы в конце концов достигнем остатка равного нулю. Это означает, что процесс завершится за конечное число шагов, и мы получим конечное разложение.

2. Бесконечное разложение для иррациональных чисел:

Теперь рассмотрим иррациональное число. Иррациональное число не может быть представлено в виде дроби ( \frac{p}{q} ). При попытке получить непрерывную дробь для иррационального числа, мы заметим, что на каждом шаге в процессе извлечения целой части остаётся ненулевой остаток, и каждый раз мы будем получать новое, всё более сложное выражение.

При делении и нахождении оставшихся дробей мы не можем достичь конечного остатка (в нашем случае, при делении на последующие остатки), поскольку это противоречит природе иррациональных чисел: они имеют бесконечное количество десятичных знаков без повторений. Таким образом, процесс извлечения непрерывной дроби продолжается бесконечно, что ведёт к бесконечному разложению.

Вывод:Рациональные числа имеют конечное разложение в непрерывной дроби, потому что процесс извлечения конечного числа целочисленных частей заканчивается.Иррациональные числа имеют бесконечное разложение в непрерывной дроби, так как деление и нахождение целых частей продолжается бесконечно без достижения нуля.

Это свойство непрерывных дробей является одним из основных результатов теории чисел и анализа.