Перестановки и сочетания — это два разных способа выбора элементов из множества, но в некоторых ситуациях они могут давать одинаковые численные результаты.

Примеры задач

Пример 1: Заказ блюд Допустим, в ресторане есть 3 блюда: A, B, C. Мы можем выбрать 2 блюда.

Перестановки: Выбор из 3 блюд с учетом порядка (например, A, B и B, A).
[
P(3, 2) = 3!/(3-2)! = 6
]
Возможные варианты: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Сочетания: Выбор 2 блюд без учета порядка.
[
C(3, 2) = 3!/(2!(3-2)!) = 3
]
Возможные варианты: AB, AC, BC.

В этом примере перестановки и сочетания дают разные результаты.

Пример 2: Цвета шариков Допустим, у вас есть 3 цвета шариков: красный (R), зеленый (G) и синий (B). Вы имеете право выбрать 2 шарика.

Перестановки: Если порядок важен (например, в каком порядке вы будете использовать шарики), то у вас будет:
[
P(3, 2) = 6
]
(RG, RB, GR, GB, BR, BG)

Сочетания: Если порядок не важен (например, вы просто хотите знать, какие цвета выбраны), то у вас будет:
[
C(3, 2) = 3
]
(RG, RB, GB)

Когда дают одинаковый результат

Теперь предположим, что у нас есть 2 предмета (например: A и B) и мы должны выбрать все 2 предмета из этих 2.

Перестановки (для 2 предметов):
[
P(2, 2) = 2! = 2
]
(AB, BA)

Сочетания (для 2 предметов):
[
C(2, 2) = 1
]
(AB)

Смысл различия в интерпретации

Перестановки: Учитывают порядок объектов. Например, в ситуации, где важно, в каком порядке были выбраны элементы (например, порядок выполнения задач, порядок расстановки объектов и т.д.).

Сочетания: Не учитывают порядок объектов. Они важны, когда порядок не имеет значения, например, при выборе ингредиентов для рецепта или при выборе участников для команды.

Если результаты совпадают, это чаще всего происходит при выборе всех элементов из множества, что имеет одинаковое значение и в контексте порядка, и в контексте выбора. Однако в большинстве случаев комбинации и перестановки различаются по значению и применению.