Давайте рассмотрим утверждение, что функция ( f(x) ), имеющая вторую производную ( f''(x) > 0 ) на некотором интервале ( I ), имеет единственный минимум на этом интервале.

Понятие второй производной:

Если ( f''(x) > 0 ) на интервале ( I ), это означает, что первая производная ( f'(x) ) является возрастающей на этом интервале. То есть, если взять два значения ( x_1 ) и ( x_2 ) из интервала ( I ), где ( x_1 < x_2 ), то верно, что ( f'(x_1) < f'(x_2) ).

Исследование первой производной:

Поскольку ( f'(x) ) является возрастающей и может принимать значения, которые переходят от отрицательных к положительным, это значит, что:

Если существует точка ( c ) на интервале ( I ), где ( f'(c) = 0 ), то для всех ( x < c ) ( f'(x) < 0 ) и для всех ( x > c ) ( f'(x) > 0 ). То есть, в этой точке ( c ) будет местный минимум.

Единственность минимума:

Рассмотрим поведение первой производной ( f'(x) ) на интервале ( I ):

Если ( f'(x) ) возрастающая и недискриминирована (она не обнуляется больше одного раза), следовательно, ( f'(x) = 0 ) может существовать максимум в не более чем одной точке. Таким образом, существование более чем одной точки, где ( f'(x) = 0 ), невозможно, так как это бы означало, что одна из этих точек должна бы была быть максимальной, что нарушает условие возрастания.

Заключение:

Таким образом, если ( f''(x) > 0 ) на интервале ( I ), то функция имеет ровно одну точку, где ( f'(x) = 0 ) (если такая точка существует), что и подтверждает, что в этой точке — единственный минимум функции.

Таким образом, можем сделать вывод: Утверждение верно — функция, имеющая вторую производную больше нуля на интервале, имеет единственный минимум на этом интервале.