В случае функций нескольких переменных предел при ( (x, y) \to (a, b) ) может зависеть от направления, по которому мы подходим к точке ( (a, b) ). Это связано с тем, что в многомерном случае существует бесконечно много путей, по которым можно подойти к точке, и поведение функции может варьироваться в зависимости от этого пути.

Если мы говорим о функции ( f(x, y) ), то предел ( \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) ) существует, если значение функции стремится к одному и тому же числу вне зависимости от выбранного пути. Если предел зависит от выбранного пути, это указывает на то, что он не существует.

Рассмотрим функцию:
[
f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}
]
Исследуем предел этой функции при ( (x, y) \to (0, 0) ) по разным путям.

Путь 1: ( y = 0 )

Подставим ( y = 0 ):
[
f(x, 0) = \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0
]
Тогда:
[
\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0
]

Путь 2: ( x = 0 )

Подставим ( x = 0 ):
[
f(0, y) = \frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = 0
]
Тогда:
[
\lim_{y \to 0} f(0, y) = 0
]

Путь 3: ( y = x )

Подставим ( y = x ):
[
f(x, x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}
]
Тогда:
[
\lim_{x \to 0} f(x, x) = \frac{1}{2}
]

Мы видим, что при подходе к точке ( (0, 0) ) по разным путям мы получаем разные пределы. По путям ( y = 0 ) и ( x = 0 ) пределы равны 0, а по пути ( y = x ) предел равен ( \frac{1}{2} ). Это означает, что предел функции ( f(x, y) ) при ( (x, y) \to (0, 0) ) не существует, так как его значение зависит от направления, по которому мы подходим к исходной точке.