Вопрос о предпочтительных подходах к доказательству непрерывности функции действительно интересен и зависит от контекста, в котором осуществляется доказательство.

Эпсилон-дельта определение непрерывности:

Это наиболее формальный и строгий способ определения непрерывности функции (f) в точке (a). Согласно этому определению, функция (f) непрерывна в точке (a), если для любого (\epsilon > 0) существует такое (\delta > 0), что для всех (x), удовлетворяющих условию (|x - a| < \delta), выполняется (|f(x) - f(a)| < \epsilon).Преимущества данного подхода заключаются в его строгости и ясности. Он дает полностью формализованный способ, который можно применить к любой функции. Такой метод может быть предпочтителен в учебных целях, так как помогает лучше понять суть непрерывности.

Основные свойства пределов и теоремы о композиции:

Доказывать непрерывность функции можно также, опираясь на свойства пределов, такие как теорема о пределе суммы, произведения и композиций функций. Для этой цели удобно использовать известные результаты о непрерывности простых функций (например, полиномов, тригонометрических функций и т. д.) и качествено опираться на их свойства.Использование теорем вызывает больше интуитивное понимание и может быть быстрее, особенно когда речь идет о сложных функциях, составленных из простых. Например, если функции (g) и (h) непрерывны в точке (a), то функция (f(x) = g(h(x))) также будет непрерывна в точке (a).

В общем случае:

Для теоретического изучения основ непрерывности более целесообразно использовать первый подход с эпсилон-дельта определением, так как он развивает строгость математического мышления.Однако в практике и более сложных задачах второй подход с использованием пределов и свойств непрерывности часто оказывается более удобным и быстрым.

Итак, выбор метода зависит от цели, контекста и уровня сложности задачи. Учебные и теоретические примеры, как правило, требуют строгости и формализма, тогда как практические доказательства могут быть более гибкими и сосредоточенными на свойствах функций.